ガンマ関数

ガンマ函数はオイラー積分によって右半平面に定義され，解析接続によって全平面に延長される。ガンマ函数は原点と負整数に極を持つ有理型函数である。

$\Gamma(z)=\int_0^\infty{t^{z-1}e^{-t}}dt\quad(\Re{z}>0)$

ガンマ函数の対数の微分を二重ガンマ函数という。

$\Psi(z)=\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

二重ガンマ函数の高階微分を多重ガンマ函数という。

$\psi_n(z)=\frac{d^{n}}{dz^{n}}\Psi(z)=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z)$

不完全ガンマ函数は複素積分によって定義され，一般には多価になる。

$\gamma(s,z)=\int_0^z{t^{s-1}e^{-t}dt$

$\Gamma(s,z)=\int_z^\infty{t^{s-1}e^{-t}dt$

積分路を実軸上に取ることを前提に，

$\gamma(s,z)+\Gamma(s,z)=\Gamma(s)$ は明らかである。

最終更新：2012年11月14日 00:47

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