フレネル積分

以下をフレネル積分という。級数は全平面で収斂して整関数を与える。

$S(x)=\int_0^x\sin(t^2)dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}$

$C(x)=\int_0^x\cos(t^2)dt=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$

光学では被積分函数に $\pi/2$ を乗ずることが多い。

フレネル積分は，微分方程式 $xf'''(x)-f''(x)+4x^3f(x)$ の解になる。(代入すれば明らか)

最終更新：2013年01月16日 21:20

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