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EarthTunnel - (2009/04/10 (金) 04:45:09) のソース

*地球を貫通するトンネル内の落下運動

&italic(){「地球の中心を通って真裏まで貫通するトンネルが掘れたら、なかに落としたものはどんな運動をするか？」}

現実的には不可能だが、力学の思考実験として、面白い問題である。よく質問されるので、理論上の解を例示する。

仮定として
-空気力は考えない。（トンネル内は真空）
-トンネル壁面との摩擦もない。
-自転の影響を無視。
つまり、地球内部で生じる重力のみで、自由落下した運動として考える。

ちなみに、自転を考慮したとしても、コリオリ力で壁面に押しつけられる力が発生するが、壁面との摩擦ゼロを仮定してるかぎり、影響はない。



（説明、書きかけ。とりあえずグラフ）

**運動方程式

#image(fig.png)


**地球の密度が均一の場合の解析解





**地球内部の密度分布モデル（PREM）を使用した数値解
#image(density.png)

以下、赤線はPREMの密度分布を用いた数値解、青線は密度均一モデルの解析解。

**ある半径以内の質量
右上（地表）で5.974e24 kg
#image(mass.png)


**地球内部の重力加速度
右上（地表）で9.8m/s2
#image(gravity.png)

**位置の変化
#image(position.png)
周期
赤 4582秒（76.36分）
青 5061秒（84.34分）地表すれすれの人工衛星の周期と同じ


**速度変化
#image(velocity.png)
地球中心を通過するとき最大
赤 9.92km/s
青 7.91km/s（第一宇宙速度と同じになる）

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**参考

-[[ウィキペディア「地球」>http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83]]
-[[標準地球モデル(PREM)>PREM]]