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流体力学：§5 流れを表す方法

(1) Lagrange の方法

\mathbf{v}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial t}
すなわち
\(u\ ,\ v\ ,\ w\)=\(\frac{\partial x}{\partial t}\ ,\ \frac{\partial y}{\partial t}\ ,\ \frac{\partial z}{\partial t}\)　

(2) Euler の方法

lagrange微分あるいは物質微分(material differentiation)とよび
D/Dt
で表わす．

　いま，１つの物理量 F が Euler の方法で x,\ y,\ z,\ t の関数として与えられているものとする．　時刻 t に点
\mathbf{r}(x,\ y,\ z)
にあった流体粒子は，微小時間 \Delta t の後には 点
\mathbf{r}+\mathbf{v}\Delta t =(x+u\Delta t,\ y+v\Delta t,\ z+w\Delta t)
に来ている．　ただし
\mathbf{v}(u,\ v,\ w)
は流速である．　\Delta t 時間内の F の変化を \Delta F と書けば

\Delta F=F(x+u\Delta t,\ y+v\Delta t,\ z+w\Delta t,\ t+\Delta t)-F(x,\ y,\ z,\ t)

　　　　=\frac{\partial F}{\partial x}u\Delta t+\frac{\partial F}{\partial y}y\Delta t+\frac{\partial F}{\partial z}w\Delta t+\frac{\partial F}{\partial t}\Delta t+O((\Delta t)^{{}^2})

右辺では Taylor 展開が使ってある．　したがって，F の時間的変化の割合は

\frac{DF}{Dt}=\lim_{{}_{\Delta t\right 0}}\frac{\Delta F}{\Delta t}

　　　　=\frac{\partial F}{\partial t}+u\ \frac{\partial F}{\partial x}+v\ \frac{\partial F}{\partial y}+w\ \frac{\partial F}{\partial z}

で与えられる．物理量 F は任意であるから，微分演算記号だけで表すと

\frac{D}{D t}=\frac{\partial}{\partial t}+u\ \frac{\partial}{\partial x}+v\ \frac{\partial}{\partial y}+w\ \frac{\partial}{\partial z}

　　　　=\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\mbox{grad} ， \mbox{grad}=\(\frac{\partial}{\partial x}\ ,\ \frac{\partial}{\partial y}\ ,\ \frac{\partial}{\partial z}\)

のように書ける．　ここで \mathbf{v}\cdot\mbox{grad} は流速ベクトル \mathbf{v} と勾配演算子とのスカラー積である．
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最終更新：2012年03月25日 08:25