全充@ ウィキ

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流体力学：§６ Eulerの連続方程式と運動方程式

流れの中に，空間に固定した任意の閉空間 S を考える．　S によって囲まれた領域 V について質量保存の法則を考える．
任意の時刻において，V に含まれる質量は

${\iiint}_{{}^V}\rho\mbox{d}V$

である．　ただし $\rho$ は密度である．　したがって，単位時間あたりの質量の変化は

$\frac{\partial}{\partial t}{\iiint}_{{}^V}\rho\mbox{d}V$

で与えられる．　この質量変化は，流体が表面 S を通って領域 V に流れ込む（あるいは V から流れ出る）ことによって起こる．　いま，表面 S の面積要素 dS を通って流出する質量を考えると，それは単位時間あたり
$\rho v_{{}^n}dS$
である．　ただし $v_{{}_n}$ は流速 $\mathbf{v}$ の，表面 $\mbox{S}$ に対する外向き法線 $\mathbf{n}$ の方向の成分である．　したがって， $\mbox{S}$ を通っての全流出量は

${\iint}_{{}^S}\rho v_{{}^n}\mbox{d}S$

となる．　これの符号を変えたものが質量変化に等しいから

$\frac{\partial}{\partial t}{\iiint}_{{}^V}\rho\mbox{d}V=-{\iint}_{{}^S}\rho v_{{}^n}\mbox{d}S$

左辺では $\partial/\partial t$ を積分記号の中に入れ，右辺の面積積分はベクトル解析での Gauss の定理を用いて体積積分に変えると，

${\iiint}_{{}^V}\(\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mbox{div}\rho\mathbf{v}\)\mbox{d}V=0$

となる．　この等式が任意の領域について成り立つためには，被積分関数は恒等的に $0$ でなければならない．

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mbox{div}\rho\mathbf{v}=0$

これを Euler の連続方程式(Euler's equation of continuity) という．

$\mbox{div}\rho\mathbf{v}=\rho\mbox{div}\mathbf{v}+\mathbf{v}\cdot\mbox{grad}\rho$

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\mbox{grad}\rho=\frac{D\rho}{Dt}$

であるから

$\frac{D\rho}{Dt}+\rho\mbox{div}\mathbf{v}=0$

のように表すこともできる.

(2) Euler の運動方程式

　同じ領域 $V$ についての運動量保存の法則を考える．　運動量保存の法則というのは，静力学の場合には，力のつりあいの法則にほかならない．
　流体の各部分には単位質量あたり $\mathbf{K}(X,\ Y,\ Z)$ なる外力が働いているものと仮定する．　微小な体積要素 $\mbox{d}V$ を占める流体の質量は $\rho\mbox{d}V$ ，したがって，それに働く外力は $\rho\mathbf{K}\mbox{d}V$ である．　その流体の流れている加速度を $\mathbf{a}$ とすれば，d'Alember の原理により， $-\rho\mathbf{a}\mbox{d}V$ なる慣性力を付加的に考えることによって，動力学の問題を静力学に帰着させることができる．　

${\iiint}_{{}_V}(\mathbf{K}-\mathbf{a})\rho\mbox{d}V-{\iint}_{{}_S}\rho\mathbf{n}\mbox{d}S=0$

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最終更新：2012年04月01日 22:06