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解析概論：§25 Taylor の公式

或る区間において， $f(x)$ は第 $n$ 階まで微分可能とする．　然らばその区間において， $a$ は定点， $x$ は任意の点とするとき

$f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^{{}^2}\ \frac{f''(a)}{2!}+\ \cdots\ +(x-a)^{{}^{n-1}}\ \frac{f^{{}^{(n-1)}}(a)}{(n-1)!}+(x-a)^{{}^n}\ \frac{f^{{}^{(n)}}(\xi)}{n!}$

ただし

$\xi=a+\theta(x-a)$ ，　　　 $0\lt\theta\lt 1$ ．

最後の項だけは，他の項と違って， $a$ の代わりに $a$ と $x$ の中間値 $\xi$ に対する導関数 $f^{{}_{(n)}}$ の値が置いてある．この最後の項を剰余項という．

$R_{{}_{n}}=(x-a)^{{}_{n}}\frac{f^{{}_{(n)}}(\xi)}{n!}$

今

$F(x)=f(x)-\{f(a)+(x-a)\frac{f'(a)}{1!}+(x-a)^{{}^2}\ \frac{f''(a)}{2!}+\ \cdots\ +(x-a)^{{}^{n-1}}\ \frac{f^{{}^{(n-1)}}(a)}{(n-1)!}\}$

と置く． $F(x)$ がすなわち $R_{{}_n}$ である．

$F(a)=F'(a)=\cdots =F^{{}_{(n-1)}}(a)=0$ ，

$F^{{}_{(n)}}(x)=f^{{}_{(n)}}(x)$ ．

$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ ，　 $a<\xi<b$ ．

$F(x)$ と $G(x)=(x-a)^{{}_n}$ において $F(a)=0$ ， $G(a)=0$ であるから

$\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F(x)}{(x-a)^{{}_n}}=\frac{F'(x_{{}_1})}{n(x_{{}_1}-a)^{{}_{n-1}}}$ ，

$x_{{}_1}$ は $a$ と $x$ の中間値である．同様に， $F&#039;(a)=0$ ， $G&#039;(a)=0$ であるから

$\frac{F'(x_{{}_1})}{n(x_{{}_1}-a)^{{}_{n-1}}}=\frac{F''(x_{{}_2})}{n(n-1)(x_{{}_2}-a)^{{}_{n-2}}}$ ，

$x_{{}_2}$ は $a$ と $x_{{}_1}$ と，従って $a$ と $x$ との中間値である．

これは右辺に $F^{{}_{(n)}}$ がでてくるところまで続けられるから

$\frac{F(x)}{(x-a)^{{}_n}}=\frac{F^{{}_{(n)}}(\xi)}{n!}=\frac{f^{{}_{(n)}}(\xi)}{n!}$

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最終更新：2014年11月03日 21:06