The procedure of Euler and Lagrange

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時刻 に地点 に位置する粒子を考える．その時点での粒子の速度はわかっているものとする．さらに粒子はある与えられた時間が経過した後，地点 にあることも仮定する．我々は粒子が描く軌跡を知っているわけではないが，粒子の運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは any possible 速度と any possible 位置により与えられる，といった数学的経験から by mathematical experimentation その軌跡を完全に確立することができる．

　最小作用 least action の原理(priciple)の最初の発見者(discoverer)である，Euler と Lagrange は次のように進めた．ふたつの地点 と を任意の仮の軌跡 tentative path で繋げてみる． すべての可能性の中で，任意の arbitrary 連続曲線 continuous curve として選択可能な道筋(軌跡)の中に，自然が選択するであろう実際の軌跡と一致するものはない．　しかしながら，仮の tentative 回答 solution を徐々に訂正していくことができ，運動の実際の軌跡 actual path of motion として指定されうる can be designate 軌跡に実際に(結果的に eventually)たどりつく．

　エネルギ原理 energy principle に従った仮の軌跡に沿って粒子を動かしてみる．　運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は一定に保たれ，実際の運動が時刻 に示す値 に常に等しい．　軌跡を自由選ぶことはできるが，ひとたび決定したらエネルギーの保存 conservation が運動を唯一に uniquely 決定する．

　特に，粒子が架空の fictitious 道筋にある任意に与えられた点を通過する時間を計算することができ，それゆえ vis viva つまり運動エネルギー２倍？の時間積分は， から までのすべての運動に広がる．　この時間積分は作用と呼ばれる．