全充@ ウィキ

力学的エネルギー

力 $F$ の作用をうけている質量 $m$ の一つの粒子を考える．

$m\frac{\mbox{d}^{{}^2}x}{\mbox{d}t^{{}^2}}=F$

この方程式の左右両辺に $\mbox{d}x/\mbox{d}t$ をかけてから， $t$ について時間 $t_{{}_0}$ から $t$ まで積分する

$m{\int}_{{}_{t_{{}_0}}}^{{}^{t}}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}^{{}^2}x}{\mbox{d}t^{{}^2}}\mbox{d}t={\int}_{{}_{t_{{}_0}}}^{{}^{t}}F\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\mbox{d}t$

この両辺の積分は，まず

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}$^{{}^2}=2\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}^{{}^2}x}{\mbox{d}t^{{}^2}}$

という関係に注意して，

$\frac{m}{2}{\int}_{{}_{t_0}}^{{}^{t}}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}$^{{}^2}\mbox{d}t=\frac{m}{2}$\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}$^{{}^2}\|_{{}_{t_0}}^{{}^t}$