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遊星の運動

力学　>　力学ノート

速度のベクトルを動径方向のものとその動径を半径とする円に対する切線方向のものという二つの直交する成分から構成されるものとする．　最初の成分は $\dot{r}$ となり，第二の成分は $r\dot{\theta}$ となるから， $v^{{}^2}={\dot{r}}^{{}^2}+{r}^{{}^2}{\dot{\theta}}^{{}^2}$ ，したがって $L=T-V=\frac{m}{2}\({\dot{r}}^{{}^2}+r^{{}^2}{\dot{\theta}}^{{}^2}\)-V(r)$ となる．

$\frac{\partial L}{\partial{\dot{r}}}=m\dot{r}$ ，

$\frac{\partial L}{\partial{\dot{\theta}}}=mr^{{}^2}{\dot{\theta}}$ ，

$\frac{\partial L}{\partial r}=mr{\dot{\theta}}^{{}^2}-\frac{\partial V}{\partial r}$ ，

$\frac{\partial L}{\partial\theta}=0$

これらを

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\(\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}\)-\frac{\partial L}{\partial r}=0$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\)-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$

に代入すると

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\(m\dot{r}\)-mr{\dot{\theta}}^{{}^2}+\frac{\partial V}{\partial r}=0$ ，

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\(mr^{{}^2}\dot{\theta}\)=0$ ．

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最終更新：2012年04月14日 09:16