全充@ ウィキ
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Lagrange の方法の一般的証明


極座標において Lagrange の方法を確かめる． 運動方程式は

m\frac{\mbox{d}^{{}^2}x}{\mbox{d}t^{{}^2}}=-\frac{\partial V}{\partial x} ，　　　m\frac{\mbox{d}^{{}^2}y}{\mbox{d}t^{{}^2}}=-\frac{\partial V}{\partial y} ．

ここで極座標 x=r\cos\theta ，y=r\sin\theta を導入すると，

\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=\cos\theta\frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}-r\sin\theta\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}

となり，さらに微分すると

\frac{\mbox{d}^{{}^2}x}{\mbox{d}t^{{}^2}}=\frac{\mbox{d}^{{}^2}r}{\mbox{d}t^{{}^2}}\cos\theta-2\sin\theta\frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}-r\sin\theta\frac{\mbox{d}^{{}^2}\theta}{\mbox{d}t^{{}^2}}-r\cos\theta\(\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}\)^{{}^2} ．

同様に

\frac{\mbox{d}^{{}^2}y}{\mbox{d}t^{{}^2}}=\frac{\mbox{d}^{{}^2}r}{\mbox{d}t^{{}^2}}\sin\theta+2\sin\theta\frac{\mbox{d}r}{\mbox{d}t}\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}+r\cos\theta\frac{\mbox{d}^{{}^2}\theta}{\mbox{d}t^{{}^2}}-r\sin\theta\(\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}\)^{{}^2}

となる．ここで，先の式に，\cos\theta　後の式に \sin\theta をかけて加え合わせる．

m\frac{\mbox{d}^{{}^2}r}{\mbox{d}t^{{}^2}}-mr\(\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}\)^{{}^2}=-\(\frac{\partial V}{\partial x}\cos\theta+\frac{\partial V}{\partial y}\sin\theta\)

-\frac{\partial V}{\partial r}=-\(\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}\)

\frac{\partial x}{\partial r}=\cos\theta ， \frac{\partial y}{\partial r}=\sin\theta

であるから

m\frac{\mbox{d}^{{}^2}r}{\mbox{d}t^{{}^2}}-mr\(\frac{\mbox{d}\theta}{\mbox{d}t}\)^{{}^2}=-\frac{\partial V}{\partial r}


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最終更新：2012年04月14日 11:12