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D'Alembertの原理とLagrangeの方程式

$\mathbf{v}_{{}^i}\equiv\frac{\mbox{d}\mathbf{r}_{{}^i}}{\mbox{d}t}=\sum_{{}^k}\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial q_{{}^k}}\dot{q}_{{}^k}+\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial t}$

$\sum_{{}^i}m_{{}^i}\ddot{\mathbf{r}}_{{}^i}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial q_{{}^j}}=\sum_{{}^i}\[\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$m_{{}_i}\dot{\mathbf{r}}_{{}_i}\cdot\frac{\partial\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}$-m_{{}_i}\dot{\mathbf{r}}_{{}_i}\cdot\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$\frac{\partial\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}$\]$

を考える．

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$\frac{\partial\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}$=\sum_{{}_k}\frac{\partial^{{}_2}\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}j}\partial q_{{}_k}}\dot{q}_{{}_k}+\frac{\partial^{{}_2}\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial t\partial q_{{}_j}}$

$\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}=\sum_{{}_k}\frac{\partial^{{}_2}\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}j}\partial q_{{}_k}}\dot{q}_{{}_k}+\frac{\partial^{{}_2}\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}\partial t}$

$\therefore\ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}$\frac{\partial\mathbf{r}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}$=\frac{\partial\dot{\mathbf{r}}_{{}_i}}{\partial q_{{}_j}}$

$\mathbf{v}_{{}^i}\equiv\frac{\mbox{d}\mathbf{r}_{{}^i}}{\mbox{d}t}=\sum_{{}^k}\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial q_{{}^k}}\dot{q}_{{}^k}+\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial t}$

から

$\frac{\partial\mathbf{v}_{{}^i}}{\partial\dot{q}_{{}_j}}=\frac{\partial\mathbf{r}_{{}^i}}{\partial q_{{}j}}$

が得られ

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最終更新：2012年06月10日 23:19

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