全充@ ウィキ

全充@ ウィキ

全充@ ウィキ

平均値の定理

解析 > 解析ノート

　変域 $(a,\ b)$ 内において関数 $f(x)$ が連続で，その微分係数 $f&#039;(x)$ が存在し，かつ

$f(a)=f(b)$

であるとする．　 $(a,\ b)$ 内の $x$ のすべての値に対して $f(x)$ が一定の値をとらない限り，
(i) $x$ が $a$ から増加して $b$ まで変わるにつれて $f(x)$ は初め増加の状態にあれば後に減少の状態にあるべく，
または，
(ii) 初めに減少の状態にあれば後に増加の状態にある.
ゆえにその状態の変わる点が唯一だけならば，これを $x=x_{{}^1}$ とすれば，

$a<x<x_{{}_1}$ の間は $f&#039;(x)&gt;0$ ，

$x_{{}_1}<x<b$ の間は $f&#039;(x)&lt;0$ ，

あるいは

$a<x<x_{{}^1}$ の間は $f&#039;(x)&lt;0$ ，

$x_{{}^1}<x<b$ の間は $f&#039;(x)&gt;0$ ，

いずれの場合でも， $f&#039;(x)$ が連続であるから， $x=x_{{}^1}$ においてはその値が $0$ でなければならない．すなわち

$f'(x_{{}^1})=0$ ．

　このような点がたくさんあれば，その点はどこでも同じ式が成り立つ．

　次に $f(a)\ne f(b)$ の場合を考える．このとき

$f(b)-f(a)=(b-a)K$

とおいて $K$ の値を定めてみる．いま

$\varphi(x)=f(x)-f(a)-(x-a)K$

とおけば， $\varphi(a)=0$ ， $\varphi(b)=0$ であるから，関数 $\varphi(x)$ は， $a$ と $b$ の間の $x$ の或る値 $x=x_{{}_1}$ において $\varphi'(x_{{}_1})=0$ ．　しかるに

$\varphi'(x)=f'(x)-K$

を得るから，この式に $x=x_{{}_1}$ とおいて

$K=f'(x_{{}_1})$

となる．すなわち

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(x_{{}_1})$ ．

　 $x_{{}_1}$ は $a$ と $b$ の間の数であるから， $0$ と $1$ の間のある正の数 $\theta$ を使って， $x_{{}_1}=a+\theta(b-a)$ と書くことができる．　ゆえにこの式はまた

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(a+\theta(b-a))$ ，　　 $(0<\theta<1)$

と，　あるいは $b=a+h$ とおき

$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$ ，　　　　 $(0<\theta<1)$

とも書ける．　これを微分学における平均値の定理という．　 $\theta$ は $1$ より小さい或る定まった正の数であるが，その値はもちろん関数 $f(x)$ の形および $h$ の値で異なる．

「平均値の定理」をウィキ内検索

最終更新：2012年04月22日 21:10