全充@ ウィキ
全充@ ウィキ

遅延ポテンシャル

\Delta\phi(\mathbf{x})=-\frac{1}{\epsilon_{{}_0}}\rho_{{}^e}(\mathbf{x})

特解が

\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{{}_0}}{\int}_{{}^V}\mbox{d}^{{}^3}x'\frac{\rho_{{}^e}(\mathbf{x}')}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}

であるが，電荷分布 \rho_{{}^e}(\mathbf{x},\ t) が時間的に変化するとき

\phi(\mathbf{x})=\frac{1}{4\pi\epsilon_{{}_0}}{\int}_{{}^V}\mbox{d}^{{}^3}x'\frac{\rho_{{}^e}(\mathbf{x}',\ t-|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|/c)}{|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}

観測点を示す変数 \mathbf{x} はつねに R=|\mathbf{x}-\mathbf{x}'| という形で含まれている．

\frac{\partial f(R)}{\partial x}=\frac{\partial f(R)}{\partial R}\ \frac{\partial|\mathbf{x}-\mathbf{x}'|}{\partial x}=\frac{x-x'}{R}\cdot\frac{\partial f(R)}{\partial R}

もう一度 x で微分すると

\frac{\partial^{{}_2}f(R)}{\partial x^{{}_2}}=\frac{\partial}{\partial x}\[\frac{(x-x')}{R}\ \frac{\partial f(R)}{\partial R}\]

=\frac{1}{R}\frac{\partial f(R)}{\partial R}-\frac{(x-x')^{{}_2}}{R^{{}_3}}\ \frac{\partial f(R)}{\partial R}+\frac{(x-x')^{{}_2}}{R^{{}_2}}\ \frac{\partial^{{}_2}f(R)}{\partial R^{{}_2}}

y と z に関する微分も同様であるから，

\Delta_{{}_x}f(R)=\frac{3}{R}\ \frac{\partial f(R)}{\partial R}-\frac{R^{{}_2}}{R^{{}_3}}\ \frac{\partial f(R)}{\partial R}+\frac{R^{{}_2}}{R^{{}_2}}\ \frac{\partial^{{}_2}f(R)}{\partial R^{{}_2}}

=\frac{1}{R}\ \frac{\partial^{{}_2}}{\partial R^{{}_2}}\(Rf(R)\)
「遅延ポテンシャル」をウィキ内検索
最終更新：2012年08月18日 20:37