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変分法


y(x,\ \alpha)=y(x,\ 0)+\alpha\eta(x)

J(\alpha)={\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}f\(y(x,\ \alpha),\ \dot{y}(x,\ \alpha),\ x\)\mbox{d}x\ ,

停留点を求めるための条件は

\(\frac{\mbox{d}J}{\mbox{d}\alpha}\)_{{}_{\alpha=0}}=0

\frac{\mbox{d}J}{\mbox{d}\alpha}={\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\frac{\partial\dot{y}}{\partial\alpha}\)\mbox{d}x

上記積分の第2項

{\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\frac{\partial\dot{y}}{\partial\alpha}\mbox{d}x={\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\frac{\partial^{{}^2}y}{\partial x\partial\alpha}\mbox{d}x

は部分積分すると

{\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\frac{\partial^{{}^2}y}{\partial x\partial\alpha}\mbox{d}x=\[\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\frac{\partial y}{\partial\alpha}\]_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}-{\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\(\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\)\frac{\partial y}{\partial\alpha}\mbox{d}x\ .

変えられた道筋に対する条件は，それらが2点 (x_{{}_1},\ y_{{}^1})，(x_{{}_2},\ y_{{}^2}) を通るということである． よって，y の\alpha についての偏導関数は x_{{}_1} と x_{{}_2} では 0 にならなければならない． したがって

\frac{\mbox{d}J}{\mbox{d}\alpha}={\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\)\frac{\partial y}{\partial\alpha}\mbox{d}x\ .

停留値に対する条件は

{\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\)\(\frac{\partial y}{\partial\alpha}\)_{{}^0}\mbox{d}x=0

と等価となる．

式中 \alpha につての　y の偏導関数は x の関数であるが，連続であることと端点での条件以外は任意である．

y(x,\ \alpha)=y(x,\ 0)+\alpha\eta(x)

で与えられるパラメータ \alpha を用い変えられた道筋の組に対しては，この偏導関数は任意関数 \eta(x) になる．
変分法によれば

{\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}M(x)\eta(x)\mbox{d}x=0

が２階の導関数まで連続な任意の関数 \eta(x) に対して成り立てば，M(x) は区間 (x_{{}_1},\ x_{{}_2}) で恒等的に 0 でなければならない．

微少量

\(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}\alpha}\)_{{}^0}\mbox{d}\alpha\equiv\delta y

は点 x における変えられた道筋の正しい道筋 y(x) からの無限小のずれを表していて，仮想変位に対応する． 同様に，正しい道筋のまわりの I の無限小の変化は

\(\frac{\mbox{d}J}{\mbox{d}\alpha}\)_{{}^0}\mbox{d}\alpha\equiv\delta J

のように表される． このようにすると，　J が正しい道筋に対しては停留値をとるということを

\delta J={\int}_{{}_{x_1}}^{{}^{x_2}}\(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\)\delta y\mbox{d}x=0

と書くことができる．
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最終更新：2013年10月26日 12:31