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最速降下線の問題

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$t_{{}^{12}}={\int}_{{}^1}^{{}_2}\frac{\mbox{d}s}{v}$

$\frac{1}{2}\ mv^{{}_2}=mgy$

$t_{{}^{12}}={\int}_{{}^1}^{{}_2}\frac{\sqrt{1+\dot{y}^{{}_2}}}{\sqrt{2gy}}\mbox{d}x$

被積分関数 $f$ は

$\sqrt{\frac{1+\dot{y}^{{}_2}}{2gy}}$

であるから， Euler-Lagrange方程式は

$\frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=\frac{\dot{y}}{\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\ \frac{\partial f}{\partial\dot{y}}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}$\frac{\dot{y}}{\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}$=\frac{\ddot{y}}{\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}\ -\ \frac{1}{2}\ \frac{\dot{y}}{y^{{}_{3/2}}}\frac{\dot{y}}{\sqrt{2g(1+\dot{y}^{{}_2}})}\ -\ \frac{1}{2}\ \frac{2\dot{y}\ddot{y}}{(1+\dot{y}^{{}_2})^{{}_{3/2}}}\frac{\dot{y}}{\sqrt{2gy}}$

　　　　　　 $=\frac{\ddot{y}(1+\dot{y}^{{}_2})}{(1+\dot{y}^{{}_2})\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}\ -\ \frac{\dot{y}^{{}_2}}{2y\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}\ -\ \frac{\ddot{y}\dot{y}^{{}_2}}{(1+\dot{y}^{{}_2})\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}$

$\frac{\partial f}{\partial y}=\sqrt{\frac{1+\dot{y}^{{}_2}}{2g}}\frac{1}{2y^{{}_{3/2}}}=\frac{1+\dot{y}^{{}_2}}{2y\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}$

$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\ \frac{\partial f}{\partial\dot{y}}\ -\ \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\ddot{y}}{(1+\dot{y}^{{}_2})\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}\ +\ \frac{1}{2y\sqrt{2gy(1+\dot{y}^{{}_2})}}=0$

$\therefore\ \frac{\ddot{y}}{1+\dot{y}^{{}_2}}+\frac{1}{2y}=0$

左辺に $\dot{y}$ をかけると，その積分は

$\int$\frac{\dot{y}\ddot{y}}{1+\dot{y}^{{}_2}}+\frac{\dot{y}}{2y}$\mbox{d}x=\frac{1}{2}\ \ln(1+\dot{y}^{{}_2})+\frac{1}{2}\ \ln\ y=a$

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最終更新：2012年07月07日 15:53

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