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Lagrangeの未定乗数法

n 個の変数が \eta_{{}_1},\ \eta_{{}_2},\ \cdots,\ \eta_{{}_n} が

(1)　　　\sum_{{}^{r=1}}^{{}_{n}}K_{{}_{r}}\eta_{{}^{r}}=0

を満たしているとする． ここで K_{{}_{r}} は \eta_{{}^1},\ \eta_{{}^2},\ \cdots,\ \eta_{{}^n} とは無関係な量とする．　もし \eta_{{}^1},\ \eta_{{}^2},\ \cdots,\ \eta_{{}^n} が変数として互いに独立な量であるならば，上式が成り立つのはすべての K_{{}_r} が 0 の場合に限られる． しかし，次のような h(\lt n) 個の独立な条件が \eta_{{}^r} に課せられているときの K_{{}_{r}} を考える．

(2)　　\sum_{{}^{r=1}}^{{}_{n}}{c_{{}_{r}}}^{{}_{(l)}}\eta_{{}^{r}}=0　　　　(l=1,\ 2,\ \cdots,\ h)

ただし，係数 {c_{{}_r}}^{{}_{(l)}} は \eta_{{}_1},\ \eta_{{}_2},\ \cdots,\ \eta_{{}_n} とは無関係とする． このとき独立に動かすことのできるのは n-h 個の \eta である． それはどれでもよいので，\eta_{{}_{h+1}},\ \eta_{{}_{h+2}},\ \cdots,\ \eta_{{}_n} をとることにする． 残りの \eta はこれらの１次結合で与えられることになる．

(3)　　\eta_{{}^l}=\sum_{{}^{m=1}}^{{}_{n-h}}{a_{{}_{m}}}^{{}_{(l)}}\eta_{{}^{h+m}}　　　　(l=1,\ 2,\ \cdots,\ h)

これを最初の式に代入し

(4)　　\sum_{{}^{m=1}}^{{}_{n-h}}\Big(K_{{}_{h+m}}+\sum_{{}^{l=1}}^{{}_{h}}K_{{}_l}{a_{{}_m}}^{{}_{(l)}}\Big)\eta_{{}^{h+m}}=0

\eta_{{}_{h+m}}(m=1,\ 2,\ \cdots,\ n-h) が独立変数であることを考慮すると

(5)　　K_{{}_{h+m}}+\sum_{{}^{l=1}}^{{}_{h}}K_{{}_l}{a_{{}_m}}^{{}_{(l)}}=0　　　(m=1,\ 2,\ \cdots,\ n-h)

しかしこの式は K_{{}_r}(r=1,\ 2,\ \cdots,\ n) について対称な形の式になっていない．
ここで任意の \lambda_{{}_1},\ \lambda_{{}_2},\ \cdots,\ \lambda_{{}_n} に対して (1) と同等な式

(6)　　\sum_{{}^{r=1}}^{{}_{n}}K_{{}_r}\eta_{{}^r}-\sum_{{}^{l=1}}^{{}^{h}}\lambda_{{}_l}\bigg(\sum_{{}^{r=1}}^{{}_{n}}{c_{{}_r}}^{{}_{(l)}}\eta_{{}^r}\bigg)=\sum_{{}^{r=1}}^{{}_{n}}\bigg(K_{{}_r}-\sum_{{}^{l=1}}^{{}_{h}}\lambda_{{}_l}{c_{{}^r}}^{{}_{(l)}}\bigg)\eta_{{}^r}=0

を考える．
\lambda_{{}_l}(l=1,\ 2,\ \cdots,\ h) の任意性を考え，\lambda_{{}_l} として，連立方程式

(7)　　\sum_{{}^{l=1}}^{{}_{h}}\lambda_{{}_l}{c_{{}_s}}^{{}_{(l)}}=K_{{}_s}，　　(s=1,\ 2,\ \cdots,\ h)

の解を採用する．(6) からは \eta_{{}_1},\ \eta_{{}_2},\ \cdots,\ \eta_{{}_h} が消えて

(8)　　\sum_{{}^{m=1}}^{{}_{n-h}}\bigg(K_{{}_{h+m}}-\sum_{{}^{l=1}}^{{}_{h}}\lambda_{{}_l}{c_{{}_{h+m}}}^{{}_{(l)}}\bigg)\eta_{{}_{h+m}}=0

ここで \eta_{{}_{h+m}}(m=1,\ 2,\ \cdots,\ n-h) の独立性により，その係数はゼロとなる．
従って，K_{{}_r} について対称な形の

(9)　　K_{{}_r}=\sum_{{}_{l=1}}^{{}_{h}}\lambda_{{}_l}{c_{{}_r}}^{{}_{(l)}}　　　(r=1,\ 2,\ ,\cdots,\ n)

が導かれる．
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最終更新：2013年10月26日 15:21