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解析概論：§55 解析関数

微分可能の意味は形式上実数の場合と全く同様

$\lim_{{}_{h\right 0}}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=f'(z)$

換言すれば

$f(z+h)=f(z)+hf&#039;(z)+o(h)$

$f&#039;(z)$ は $z$ のみに関係して $h$ には関係しない定数，また $o(h)$ は $z$ にも $h$ にも関係するが， $h\right 0$ のとき， $h$ よりも高度に微小なる数である．

$f(z)=u+vi$ が $z=x+yi$ に関して微分可能であることを，実数の関係に引き直してみるために， $f&#039;(z)=p+qi$ とし，また $h=\Delta z=\Delta x+i\Delta y$ と置けば

$\Delta u+i\Delta v=(p+qi)(\Delta x+i\Delta y)+o(\ |h|\ ),$ 　　　　 $(\ |h|=\sqrt{\Delta x^{{}_2}+\Delta y^{{}_2}}\ )$

$\therefore$ 実部と虚部とを分けて

$\Delta u=p\Delta x -q\Delta y+o(\ |h|\ ),$

$\Delta v=q\Delta x+p\Delta y+o(\ |h\|\ ).$

$u,v$ は実変数 $x,y$ の関数として微分可能で

$u_{{}^x}=v_{{}^y}=p,$ 　　　　 $-u_{{}^y}=v_{{}^x}=q,$

従って

$f'(z)=u_{{}^x}+iv_{{}^x}=-i(u_{{}^y}+iv_{{}~y}).$

$f(z)$ が正則ならば，その実部 $u$ および虚部 $v$ の間に

$u_{{}^x}=v_{{}^y},$ 　　　 $u_{{}^y}=-v{{}^x}$

なる関係が成り立つ．　これは微分可能の必要条件である．
また逆に $h=\Delta x+i\Delta y$ として

$\Delta u=u_{{}^x}\Delta x+u_{{}^y}\Delta y+o(\ |h|\ ),$

$\Delta v=v_{{}^x}\Delta x+v_{{}^y}\Delta y+o(\ |h|\ ),$

従って

$\Delta u+i\Delta v=(u_{{}^x}+iv_{{}^x})(\Delta x+i\Delta y)+o(\ |h|\ ).$

故に

$\frac{\Delta u+i\Delta v}{\Delta x+i\Delta y}\right u_{{}^x}+iv_{{}^x}.$

すなわち $u+vi$ は複素変数 $z=x+yi$ に関して微分可能である．

$u_{{}^{xx}}=v_{{}^{yx}},\ \ u_{{}^{yy}}=-v_{{}^{xy}}$

従って

$\frac{\partial^{{}_2}u}{\partial x^{{}_2}}+\frac{\partial^{{}_2}u}{\partial y^{{}_2}}=0,$ 　　　 $\frac{\partial^{{}_2}v}{\partial x^{{}_2}}+\frac{\partial^{{}_2}v}{\partial y^{{}_2}}=0.$

すなわち $u,\ v$ はLaplaceの微分方程式を満足せしめねばならない．

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最終更新：2012年08月13日 21:23