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解析概論：§56 積分

　領域 $K$ において $f(z)$ の連続性のみを仮定する． $K$ 内で点 $z_{{}0}$ を点 $z$ に結ぶ曲線 $C$ が与えられているとする．
　 $C$ の上で $z_{{}_0}$ と $z$ の間に順次に分点 $z_{{}_1},\ z_{{}_2},\ \cdots,\ z_{{}_{n-1}}$ を取って $i$ 番目の弧 $z_{{}_{i-1}}z_{{}_i}$ （それを $C_{{}_i}$ と名づける）の上の任意の点を $\zeta_{{}_i}$ として

${\sum}_{{}^{\Delta}}=\sum_{{}_{i=1}}^{{}_{n}}f(\zeta_{{}_i})(z_{{}_i}-z_{{}_{i-1}})$

を考える．弧 $C_{{}_i}$ の長さを $\sigma_{{}_i}$ として， $\sigma_{{}_i}$ の最大値を $\sigma$ とするならば， $\sigma\right 0$ のとき ${\sum}_{{}^{\Delta}}$ は曲線 $C$ の分割法 $\Delta$ および $\zeta_{{}_i}$ のとりかたに無関係になる一定の極限を有する．それを曲線 $C$ に関する $f(z)$ の積分

$I={\int}_{{}_C}f(z)\mbox{d}z$

という．

$z=x+yi,\ f(z)=u(x,\ y)+iv(x,\ y)$ とすれば， $I$ は線積分

$I={\int}_{{}_C}(u+iv)\mbox{d}(x+iy)$

　　 $={\int}_{{}_C}(u\mbox{d}x-v\mbox{d}y)+i{\int}_{{}_C}(u\mbox{d}y+v\mbox{d}x)$

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最終更新：2012年08月25日 20:51