■定理

領域 $D$ において定義された関数 $f(z)=u(x,\ y)+v(x,\ y)i$ が正則であるための必要十分条件は， $u(x,\ y)$ と $v(x,\ y)$ が $D$ 内の各点で全微分可能で，導関数が

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ ，　　　 $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

を満足することである．

■

連続関数 $u(x,\ y)$ が $(x_{{}_0},\ y_{{}_0})$ において全微分可能であるとは

$u(x_{{}_0}+\Delta x,\ y_{{}_0}+\Delta y)-u(x_{{}_0},\ y_{{}_0})$

　　　　 $=u_{{}_x}\Delta x +u_{{}_y}\Delta y+\rho(\Delta x,\ \Delta y)\sqrt{(\Delta x)^{{}~2}+(\Delta y)^{{}^2}}$

によって $\rho(\Delta x,\ \Delta t)$ を定めるとき

$\rho(\Delta x,\ \Delta y)\right 0$ ，　　　　 $((\Delta x)^{{}^2}+(\Delta y)^{{}^2}\right 0)$

すなわち

最終更新：2012年09月23日 22:56

全充@ ウィキ

正則関数：コーシー・リーマンの方程式