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量子一次元調和振動子：解の漸近的な振る舞い

\xi\right\pm\infty の漸近領域で u が主としてどういう有様になるか

\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}^2}}+(\lambda-\xi^{{}^2})u=0

解として

u(\xi)=\xi^{{}^n}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

が予測される． \xi の遠方における境界条件 \xi^{{}^n}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}\right 0 により冪の指数が負のものだけを考える．

\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\xi}=n\xi^{{}^{n-1}}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}-\xi^{{}^{n+1}}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}^2}}=n(n-1)\xi^{{}^{n-2}}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}-n\xi^{{}^{n}}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}-(n+1)\xi^{{}^n}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}+\xi^{{}^{n+2}}\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

厳密な解としては， H(\xi) を \xi の有限次の多項式として

u(\xi)=H(\xi)\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

という形のものが予想できる．

\frac{\mbox{d}u}{\mbox{d}\xi}=H'\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}-\xi H\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

\frac{\mbox{d}^{{}^2}u}{\mbox{d}\xi^{{}^2}}=(H''-\xi H'-\xi H'-H+\xi^{{}^2}H)\mbox{e}^{{}^{-\frac{1}{2}\xi^2}}

\therefore　　H''-2\xi H'+(\lambda-1)H=0
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最終更新：2013年01月05日 12:10