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運動方程式：滑らかな束縛

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N個の質点の位置ベクトル \mathb{r}_{{}_{a}}(a=1,\ 2,\ \cdots,\ N)

が，h(<3N) 個の独立な条件式

(1)　　　f_{{}_l}(\mathb{r}_{{}_1},\ \mathb{r}_{{}_2},\ \cdots,\ \mathb{r}_{{}_N},\ t)=0　　　(l=1,\ 2,\ ,\cdots,\ h)

に従うとする．

(1) の結果，系を記述するために必要な独立変数の数は 3N-h になる．それを適当に選んで q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n} とかくことにする．ここで n=3N-h で

(2)　　　\mathb{r}_{{}_a}=\mathb{r}_{{}_a}(q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n},\ t)

このような q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n} は，系を記述する上で通常の座標概念を一般化したものであって，一般化座標(generalized coordinates) とよばれる．

束縛条件が課せられると，\mathb{r}_{{}_a} はこれに従わねばならない．そうなるためには別の力 \mathb{C}_{{}_a} が加わっていなければならない．
各質点について無限小の変位 \mathb{r}_{{}_a}\right\mathb{r}_{{}_a}+\delta\mathb{r}_{{}_a} を考える．時間が止まったままの変位，仮想変位(viratual displacement) として考える． \delta\mathb{r}_{{}_a}(a=1,\ 2,\ \cdots,\ N) は，束縛条件があるから勝手にとることはできない． 任意に動かせるのは n 個の独立変数 q_{{}_r}(r=1,\ 2,\ \cdots,\ n) であって，それらの無限小の仮想変位 q_{{}_r}\right q_{{}_r}+\delta q_{{}_r} の結果として，\delta\mathb{r}_{{}_a} が与えられたとみるべきである．

m_{{}_a}\ddot{\mathb{r}}_{{}_a}=\mathb{F}_{{}_a}+\mathb{C}_{{}_a}　　　(a=1\,\ 2,\ \cdots,\ N)

\delta\mathb{r}_{{}_a}=\mathb{r}_{{}_a}(q_{{}_1}+\delta q_{{}_1},\ q_{{}_2}+\delta q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n}+\delta q_{{}_n})-\mathb{r}_{{}_a}(q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n})

　　　　=\sum_{{}_{r=1}}^{{}_n}\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}\delta q_{{}_r}

束縛力によってなされる仕事は

\sum_{{}_{a=1}}^{{}_{N}}\mathb{C}_{{}_a}\cdot\delta\mathb{r}_{{}_a}=\sum_{{}_{r=1}}^{{}_n}\bigg(\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\mathb{C}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}\bigg)\delta q_{{}_r}

ここで，この仕事が \delta q_{{}_r} の如何に関せずゼロ，つまり純粋に束縛力のみを通して，系のエネルギーが外部に放出されたり，逆に系にエネルギーが外から注入されたりすることはないものと考える．このような束縛は 滑らか (smooth) であるという．
このことから

\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\mathb{C}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}=0　　　(r=1,\ 2,\ \cdots,\ n)

が導かれる．

m_{{}_a}\ddot{\mathb{r}}_{{}_a}=\mathb{F}_{{}_a}+\mathb{C}_{{}_a}

と \partial\mathb{r}_{{}_a}/\partial q_{{}_r} のスカラー積をつくり a について和をとると

\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}m_{{}_a}\ddot{\mathb{r}}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}=\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\mathb{F}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}+\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\mathb{C}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}　　　(r=1,\ 2,\ \cdots,\ n)

束縛力 \mathb{C}_{{}_a は消去され，n 個の方程式

\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}m_{{}_a}\ddot{\mathb{r}}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}=\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\mathb{F}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}

を得る．

\mathb{r}_{{}_a}=\mathb{r}_{{}_a}(q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n},\ t)

に着目してこれを解けば， q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n} が時間の関数として与えられる．
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最終更新：2013年11月10日 15:17