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運動方程式：滑らかな束縛(2)

$\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}m_{{}_a}\ddot{\mathb{r}}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}=\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}m_{{}_a}\bigg\{\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\bigg(\dot{\mathb{r}}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}\bigg)-\dot{\mathb{r}}_{{}_a}\cdot\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\bigg(\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}\bigg)\bigg\}$

$\mathb{r}_{{}_a}=\mathb{r}_{{}_a}(q_{{}_1},\ q_{{}_2},\ \cdots,\ q_{{}_n},\ t)$

より

$\dot{\mathb{r}}_{{}_a}=\sum_{{}_{s=1}}^{{}_n}\frac{\partial\mathb{r}_{a}}{\partial q_{s}}\dot{q}_{{}_s}+\frac{\partial\mathb{r}_a}{\partial t}$

両辺を $\dot{q}_{{}_r}$ で微分すれば

$\frac{\partial\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_{{}_r}}=\frac{\partial\dot{\mathb{r}}_{{}_a}}{\partial\dot{q}_{{}_r}}$

また $q_{{}_r}$ で微分すれば

$\frac{\partial\dot{\mathb{r}}_{a}}{\partial q_r}=\sum_{{}_{s=1}}^{{}_n}\frac{\partial^{{}_2}\mathb{r}_{{}_a}}{\partial q_s\partial q_r}\dot{q}_{{}_s}+\frac{\partial^{{}_2}\mathb{r}_a}{\partial t\partial q_{r}}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\bigg(\frac{\partial\mathb{r}_a}{\partial q_r}\bigg)$

これらを

に代入して

　　　　　　　　　　　 $=\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}m_{{}_a}\bigg\{\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\bigg(\dot{\mathb{r}}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\dot{\mathb{r}}_a}{\partial\dot{q}_r}\bigg)-\dot{\mathb{r}}_{{}_a}\cdot\frac{\partial\dot{\mathb{r}}_a}{\partial q_r}\bigg\}$

　　　　　　　　　　　 $=\sum_{{}_{a=1}}^{{}_N}\frac{m_{{}_a}}{2}\bigg\{\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\frac{\partial}{\partial\dot{q}_r}\big({\dot{\mathb{r}}_{{}_a}}^{{}_2}\big)-\frac{\partial}{\partial q_r}\big({\dot{\mathb{r}}_{{}_a}}^{{}_2}\big)\bigg\}$

　　　　　　　　　　　 $=$

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最終更新：2013年11月10日 19:05

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