n次元単体の外心の定義
n次元単体の各i点(i=0~n)からの距離が全て等しくなる点を外心と呼ぶ。n次元単体の外心からある辺に下ろした垂線の足はその辺の中点となる。
n次元単体の0点から外心への方向ベクトル
n次元単体の外心の方向をとすると、と書けることから、とおけば、と書ける。
原点からn次元単体の外心への位置ベクトル
このとき、外心の位置はとなるので、
原点からn次元単体のあるn次元部分空間への垂線をとおけば、となり、とすれば、と書ける。
原点からn次元単体のあるn次元部分空間への垂線をとおけば、となり、とすれば、と書ける。
i対面の外心(i外垂足)
n次元単体の外心とi対面で作られる外心i分積は、絶対分積座標よりとなる。
また、外心からi対面への垂線は、となることから、外心からi対面への垂足(i対面の外心)は となる。
n次元単体の外接超球の半径
これより、n次元単体の外接超球の半径はであり、となる。
また、上記をのように式変形することによって、辺乗行列によってとも表せる。
n次元単体の外接超球上の点
n次元単体の外接超球上の点について、が成り立つ。