ここでの平均については、
f(x_1,x_2,…,x_n)=f(<x>,<x>,<x>,…,<x>)を満たすただ一つの<x>を x_1,x_2,…,x_nの関数fについての平均の値である。
の前項の定義を大前提とする。
ただ一つであるためのfの条件は
f(<x>,<x>,<x>,…,<x>)が単調増加or単調減少である。…①
また、それぞれの要素を入れ替えても<x>には影響しないということは
平均を考える際に許される。よって、
f(x_1,x_2,…,x_n)は対称式である。…②
これらを用いて以下を証明する。
m=min(x_1,…x_n),M=max(x_1,x_2,…x_n)とおくとm≦<x>≦Mである。…③
f(m,m,…,m)≦f(x_1,m,…,m)と仮定すると①,②よりfはそれぞれの変数について単調増加関数より
f(m,m,…,m)≦f(x_1,m,…,m)≦f(x_1,x_2,m,…m)≦…≦f(x_1,x_2,…x_n)≦…
≦f(M,M,…M)より
f(m,m,…,m)≦f(x_1,x_2,…,x_n)=f(<x>,<x>,…,<x>)≦f(M,M,…,M)
fはそれぞれの変数について単調増加よりf(x,x,…,x)も単調増加関数である。
∴m≦<x>≦M
また、f(m,m…,m)≧f(x_1,m,…,m)と仮定しても同様に考えて上と同じ結果が得られる。
これよりどのような平均でもx_1～x_nの通る領域内に<x>が存在する。
③より①の条件を絞ることができて
閉区間[m,M]においてf(<x>,<x>,<x>,…,<x>)が単調増加or減少である。…①'
次に平均値は
