数学：合成関数の微分(寺子屋2009)

合成関数とは例えば
$f(x) = x^2$

$g(x) = \sin (x)$
としたとき
$f(g(x)) = \sin^2(x)$
となるものである。
つまり関数の中に関数が入っているという状態。

$y=f(g(x))$ を微分するには、 $t=g(x)$ と考えて、次の関係式を使うと分かりやすい
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}$
ここで
$\frac{dy}{dt} = f'(t)$

$\frac{dt}{dx} = g'(x)$
となる。何を何で微分しているかを気をつけないと意味不明になる。上の式はyをtで微分し、下の式はtをxで微分している。
結果的に以下の式が得られる。
$\frac{dy}{dx} = f'(t)g'(x) = f'(g(x))g'(x)$

最終更新：2009年10月20日 10:13

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