本試験

平成22年1月19日実施量子化学松沢英世試験時間60分電卓の使用可。

[A]
水素原子のシュレディンガー方程式の解に基づき、 $3\rm d_{xy}$ 軌道と $1\rm s$ 軌道のエネルギー差を原子単位とaJ単位で求めなさい。

[B]
窒素原子の基底電子配置 $[\rm He](2\rm s)^2(2\rm p)^2$ から生じる項記号は ${}^2\rm P$ , ${}^2\rm D$ , ${}^4\rm S$ である。Jの添字を付け ${}^{2\rm S+1}\rm L_{\rm J}$ の表記を完成させ、Hundの規則に基づき、これら項状態をエネルギーの低い順に並べなさい。

[C]
再現が困難な図を用いる問題のため省略

[D]
水素原子のシュレディンガー方程式の解によれば、原子軌道関数 ${\psi_{n,l,m_l}}(r,\theta, \phi)$ は、動径関数 $R_{n,l}(r)$ と角関数 $Y_{l,m_l}(\theta,\phi)$ の積で書くことができる。例えば、 $2\rm p$ 軌道の動径関数 $R_{2,1}(r)=\sqrt{1/24}\sqrt{(Z/a_0)^3}(Zr/a_0)\exp(-Zr/2a_0)$ ,角関数は $Y_{1,0}(\theta,\phi)=\sqrt{3/4\pi}\cos \theta$ ; $Y_{1,+1}(\theta,\phi)=\sqrt{3/8\pi}\sin \theta\exp(i\phi)$ ; $Y_{1,+1}(\theta,\phi)=\sqrt{3/8\pi}\sin \theta\exp(-i\phi)$ である。 $2\rm p$ 軌道のうち、 $2\rm p_z$ 軌道は ${\psi_{n,l,m_l}}(r,\theta, \phi)=R_{2,1}(r)Y_{1,0}(\theta,\phi)$ と表すことができるが、 $2\rm p_x$ 軌道, $2\rm p_y$ 軌道は角関数に対して $Y_{1,+1}(\theta,\phi)$ と $Y_{1,-1}(\theta,\phi)$ の一次結合をとる必要がある。
(1)
$2\rm p_x$ 軌道(動径関数×角関数)を具体的に示したあと、 $2\rm p_x$ 軌道が規格化されていることを示しなさい。ただし、動径関数 $R_{n,l}(r)$ と角関数 $Y_{l,m_l}(\theta,\phi)$ はそれぞれ、規格直交系をなしていることを用いなさい。ただし $\exp(i\phi)=\cos \phi + i\sin \phi$ , $x=r\sin \theta \cos \phi$ , $y=r\sin \theta \sin \phi$ , $z=r\cos \theta$ の関係を用いなさい。

(2)
$2\rm p_x$ 軌道に対して、軌道角運動量の2乗を与える演算子 $\hat{l}^2$ , 軌道角運動量の $z$ 成分を与える演算子 $\hat{l_z}$ に対する固有値を求めなさい。ただし、固有値方程式 $\hat{l}^2Y_{l,m_l}(\theta,\phi)=l(l+1)\hbar^2Y_{l,m_l}(\theta,\phi)$ , $\hat{l_z}Y_{l,m_l}(\theta,\phi)=m_l\hbar Y_{l,m_l}(\theta,\phi)$ を用いなさい。

[E]
再現が困難な図を用いる問題のため省略

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最終更新：2013年02月05日 17:16

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