数学Ａ

数学Aは、数学Ⅰのように単純計算で片づけられる分野は少なく、
考える力に特に重点があてられるため、一癖も二癖もありますね。
特に場合の数と確率は、文系でも理系でも花形の分野であり、
２次試験で必ず１題は出されるほどの超頻出分野らしいです。

<場合の数>

「順列」と「組み合わせ」が山場の分野です。
計算力はそれほど必要ではないけど、問題を解けるようにするまでがしんどいです。
まずは、教科書や傍用問題集の例題の模範解答を全部自分の手で書いてみることです。
(大体１０～１５個ぐらいの例題がある。)
そうすることで、解答の流れを体に叩き込むことができます。
とにかく式の少ない分野なので、日本語を用いて解答を作成する能力が特に問われます。
解答を写経することでそのコツを身に着けることです。
他にも、表を書いたり樹形図を書いたりすることで解答がわかりやすくなることもあります。
以下、重要事項について。

• ド・モルガンの法則
• n(A∨B)＝n(A)＋n(B)－n(A∧B)

この２つは、セットで出てくることが多い。ベン図を利用する問題で多い。

• 和の法則＆積の法則

法則の説明書きは特に暗記する必要もなし。
ちなみに自明な事しか書かれていないし、法則名すら覚えなくてもいいと思う(笑)
ただ、一応場合の数の根幹をなす考え方ではある。
約数の問題の解き方は暗記しとくべし。青チャートの解答などが参考になるかも。

• 順列

１！～６！までの値は即答できるようにしとくべし。
○数字の並べ方、○人の並べ方、○円順列(＆じゅず順列)、○重複順列
それぞれ各数パターンの解き方がある
例：①数字の並べ方だと、偶数のときはどうとか３の倍数の時はどうかとか 
　  数字の中に０が入っていたらどう場合分けするかetc
　　②人の並べ方だと、隣り合うとき、誰も隣り合わないとき、両端にくるときetc

これらの解法は初見で思いつくのはまず無理なので、
各パターン特有の解法の考え方を覚える必要がある。これが結構めんどくさい。
ただ、覚えてしまえば何ということはない。
尚、円順列は単純なパターンだと公式の利用だけで解けるが、
何かを１つ固定させるタイプのレベルの高いパターンもあり、差がつくところである。

• 組合せ

順列との違いがよくわからないという声も多いが、
「こういう問題はこう解く！」とすべての問題について暗記していれば
自然と順列と組合せのどちらを使うかがわかると思う。
○グループ分けの問題、が特に色々な角度から狙われやすい。
頭の中を整理していないと混乱するので、事例ごとに整理していきましょう。
また、nCr＝nCn-r 　など、計算の簡略化も図ること。

青チャートでは

順列は異なるｎ個のものの中から異なるｒ個を取り出して１列に並べる
組み合わせは異なるｎ個のものの中から異なるｒ個を取り出す

と定義されており、要約すると順番を区別して取り出すかどうかの違いである。

• 同じものを含む順列

公式覚えればかなり簡単。
ほとんど道順に関する問題だが、たまに文字を並べる問題もある。
道順に関する問題では、n(A∨B)＝n(A)＋n(B)－n(A∧B)もよく絡めてくる。

• 重複組合せ

めったに出ないけど、一応ひととおりやっておくことを勧める。
ｎＨｍとかいう記号が登場するが、あまり使わない。

• 二項定理

これも滅多にないので、基本さえ押さえれば大丈夫だと思う。
数学Bの数列とよく融合されやすい。

<確率>

前半部分は、場合の数の主要な例題が全部押さえられていれば
それほど難しくはないです。
場合の数に「全事象を分母におく」という作業が加わっただけです。
後半の独立な試行(反復試行を含む)が確率特有の最重点分野です。

典型問題の数は場合の数に比べれば少ないです。
(実際、入試問題では確率で典型問題はほとんど登場しない。
その場で初見の題材をテーマに、平等に考えさせる問題のほうが圧倒的に多い。)

でもまあ折角なので、典型問題について一通り網羅してみます。
なお、確率の考え方になじめない人は
『細野真宏の確率が本当によくわかる本』や『ハッとめざめる確率』
を読むといいです。前者が初心者向け。後者は中上級者向け。

なお、教科書には用語がたくさん出てきますが、
模範解答に登場しないような用語は全部覚えなくていいです。

• 袋から球を取り出す問題

これは解法を知っていれば即答できる。

• 余事象

「少なくとも～」という語が登場したらまずは余事象を疑いましょう。
また、「少なくとも～」という語が出てこなくても、普通のアプローチより
早く解けると判断したらどんどん余事象を使っていくといい。意外と余事象は頻繁に使う。

• サイコロの目の最大値

割と特殊な処理(引き算)をするので、覚えてないとできない。
ただし、覚えていれば即答。

• 反復試行

たいてい公式をあてはめれば即答。
ただし、４回目までは反復試行の公式を適用して５回目だけ普通の確率を掛け合わせる
などといった、ひとひねりされた問題もあるから注意。

• 期待値

確率の大問の最後がよく期待値の問題で締めくくられるが、
何のことはない、ただの平均値を求める問題に過ぎないので身構える必要はない。
ただ、ケアレスミスを犯しやすいので、
全部の確率を足し合わせて必ず１になるかを確かめるという検算は怠らないこと。
期待値の問題はたいてい綺麗な答えになるので、分母分子が４ケタ以上になるようなら
計算ミスを疑ったほうがいい。

• その他(検算について)

場合の数と確率はほかの分野と違い、検算がほとんどできないので
代わりに数を減らしたりなどして設定を単純化させて実験してみるなどの方法が
意外に有効である。
また、答えもある程度直感でどの程度になるのか見当がつくことも多いので、
その直感と大きくずれた答えが出たら、計算ミスを疑ったほうがいいだろう。

• センター試験の確率について

基本的に公式適用問題は稀で、すべての場合について数え上げる問題が多い。
センター確率においては、うまい方法を考えるより先に、
まずは泥臭くても全ての場合について数え上げる姿勢が大切である。

<平面幾何>

基本的にセンター試験専用分野です。
２次試験ではほとんど出題例がないそうです。
よって、証明問題は自力で解けるようにする必要性をあまり感じないです。
だいいち、その証明問題がレベルが不当に高すぎる気もします。

数学が苦手な人とか、センターだけ数学が必要な人は
後述する基本的な定理を覚えて、問題も求値問題だけ解ければ
それでいいと思います。
(よって青チャートも、ごく基本的な問題が数問だけ解けていればいい。)

数学が得意な人のみ、定理の証明だとか問題集の証明問題に取り組んでみるのが
いいと思います。
ちなみに自分は、青チャートの証明問題は１回解答を写経しただけで終わらせました。
自力で証明問題を解いてません。

なお、平面幾何は数学Aに位置付けられますが、
座標平面(円の問題は数学Ⅱの図形と式の知識が必要)を導入してみたり、
数学Bで習うベクトルを導入したりして解くことも可能です。
その解き方だと発想力があまりなくてもいいので便利です。その代わり計算が非常にめんどいですｗ
俺はむしろこっちの解き方のほうが好きです。
青チャートの問題もこれで結構解けるので、余力のある人はチャレンジしてみてはいかが？

では、センター試験で頻出する事項について書き出してみます。
これらは数学Ⅰの三角比の問題でもよく登場するので覚えときましょう!!
重要なものは☆印をつけました

• ☆角の二等分線と比
• 面積と相似比
• 三角形の五心(どちらかと言えば２次試験でよく出る気がする)
• ☆円周角の定理
• ☆内接四角形の性質(円に内接する四角形)
• ☆接弦定理
• ☆方べきの定理
• ☆２円間の距離(これは数学Ⅱの図形と式でよく使われる)
• チェバの定理とメネラウスの定理

<頻出解法>
○角を二等分する線があったら→角の二等分線の比の公式を使う
○円絡みの三角形で９０°の角度があったら→その角に対応する線分は円の直径
○円絡みの三角形で角が等しかったら→弧の長さ同じ、対応する線分の長さも同じ
○円に内接する四角形に対角線を引いて二つの三角形にして条件に面積があれば→sinθ＝sin(180-θ)
○円を突き抜ける直線が２本ある→方べきの定理
○円に接する直線がある→方べきの定理、もしくは角度９０°を使うパターン
○問われている線分をよく見たら円の半径だった

チェバとメネラウスは、なぜかセンター試験で１度も出てなかった気がする。
そもそもこれらは数学Ｂのベクトルの解法を知っていれば基本的に使う機会がないと思われる。

コメント

• 有名角って覚えるもんなの？って質問した者だが、助かったぜマジ感謝 -- 名無しさん (2011-09-06 00:34:16)