「Library/工学/制御工学/Note4_現代制御理論」の編集履歴（バックアップ）一覧はこちら
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#navi(Library/工学/制御工学)
ぼちぼちメモ
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*キーワード
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ほとんどカルマンが一人で作り上げた世界だと思う。
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**状態方程式
$$\bold{x}(t)=\[ x_1(t) , x_2(t), x_3(t), \dots, x_n(t) \]^t $$を状態変数、$$\bold{y}(t)=\[ y_1(t) , y_2(t), y_3(t), \dots, y_n(t) \]^t $$を出力変数、$$\bold{u}(t)=\[ u_1(t) , u_2(t), u_3(t), \dots, u_n(t) \]^t $$を入力変数としたときの状態方程式（連立線形微分方程式）が、以下で書ける。
$$ \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C& D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ u(t) \end{pmatrix} $$
**リャプノフの安定性理論
非線形システムを含めた安定性判別方法
**可制御
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有限で設定した時刻で、目標の状態変数に制御できる条件
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**可観測
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ある有限の時刻の出力から、初期の状態変数が一意に決定できる条件
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**レギュレータ問題
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**オブザーバ問題
>
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**サーボ問題
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**カルマンフィルタ
*トピック
**行列指数関数について
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工学の本を読むといきなり当たり前に使われている、ピンと来ない人が多いので、その解説
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定理：行列式の微分方程式も1変数の微分方程式と同じように解ける(かなりくだけた言い方)
$$ \frac{d}{dt}\bold{x}(t)=A\bold{x}(t), \bold{x}(t)=(x_n(t), \dots, x_1(t) )^t, A=\{ a_{ij} \}$$
の微分方程式の解は、
$$ \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}A^n)\bold{x}(0)=e^{A} \dot \bold{x}(0) $$
漸近安定条件は、固有値の実部が負。
証明
まず、$$ \bold{x(t)} $$ を調べる。
$$ \bold{x}(t)^{(n)}=(\frac{d^n x_n(t)}{dt^n}, \dots, \frac{d^n x_1(t)}{dt^n} )^t $$
とすると、マクローリン展開を適用して、
$$ \bold{x}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}\bold{{x(t)}^{(n)}}(0) $$
次に、$$ \bold{x}^{(n)} $$ を調べる($$A$$は定数項なので、$$(\frac{d}{dt}(A)) = 0 $$)。
$$ \bold{x(t)}^{(2)} = \frac{d}{dt}(A\bold{x}(t)) = (\frac{d}{dt}(A)) \bold{x}(t) + A( \frac{d}{dt}{\bold{x}(t)}) = A^2 \bold{x}(t)$$
から、帰納的に
$$ \bold{x(t)}^{(n)} = A^n \bold{x}(t)$$
最後に、これまでの結果を利用して
$$ \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \bold{{x(t)}^{(n)}}(0) ) = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} A^n ) \bold{x}(0) = e^{A} \dot \bold{x}(0)$$
#navi(Library/工学/制御工学)
ぼちぼちメモ
#contents
*キーワード
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ほとんどカルマンが一人で作り上げた世界だと思う。
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**状態方程式
$$\bold{x}(t)=\[ x_1(t) , x_2(t), x_3(t), \dots, x_n(t) \]^t $$を状態変数、$$\bold{y}(t)=\[ y_1(t) , y_2(t), y_3(t), \dots, y_n(t) \]^t $$を出力変数、$$\bold{u}(t)=\[ u_1(t) , u_2(t), u_3(t), \dots, u_n(t) \]^t $$を入力変数としたときの状態方程式（連立線形微分方程式）が、以下で書ける。
$$ \begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C& D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ u(t) \end{pmatrix} $$
**リャプノフの安定性理論
非線形システムを含めた安定性判別方法
**可制御
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有限で設定した時刻で、目標の状態変数に制御できる条件
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**可観測
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ある有限の時刻の出力から、初期の状態変数が一意に決定できる条件
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**レギュレータ問題
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**オブザーバ問題
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**サーボ問題
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**カルマンフィルタ
*トピック
**行列指数関数について
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工学の本を読むといきなり当たり前に使われている、ピンと来ない人が多いので、その解説
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定理：行列式の微分方程式も1変数の微分方程式と同じように解ける(かなりくだけた言い方)
$$ \frac{d}{dt}\bold{x}(t)=A\bold{x}(t), \bold{x}(t)=(x_n(t), \dots, x_1(t) )^t, A=\{ a_{ij} \}$$
の微分方程式の解は、
$$ \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}A^n)\bold{x}(0)=e^{A} \dot \bold{x}(0) $$
漸近安定条件は、固有値の実部が負（これについては、話が別）。
証明
まず、$$ \bold{x(t)} $$ を調べる。
$$ \bold{x}(t)^{(n)}=(\frac{d^n x_n(t)}{dt^n}, \dots, \frac{d^n x_1(t)}{dt^n} )^t $$
とすると、マクローリン展開を適用して、
$$ \bold{x}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}\bold{{x(t)}^{(n)}}(0) $$
次に、$$ \bold{x}^{(n)} $$ を調べる($$A$$は定数項なので、$$(\frac{d}{dt}(A)) = 0 $$)。
$$ \bold{x(t)}^{(2)} = \frac{d}{dt}(A\bold{x}(t)) = (\frac{d}{dt}(A)) \bold{x}(t) + A( \frac{d}{dt}{\bold{x}(t)}) = A^2 \bold{x}(t)$$
から、帰納的に
$$ \bold{x(t)}^{(n)} = A^n \bold{x}(t)$$
最後に、これまでの結果を利用して
$$ \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \bold{{x(t)}^{(n)}}(0) ) = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} A^n ) \bold{x}(0) = e^{A} \dot \bold{x}(0)$$
