kuni_memo @ ウィキ
kuni_memo @ ウィキ

Library > 工学 > 制御工学 > Note4_現代制御理論 

ぼちぼちメモ

キーワード

ほとんどカルマンが一人で作り上げた世界だと思う。

状態方程式

\bold{x}(t)=\[ x_1(t) , x_2(t), x_3(t), \dots, x_n(t) \]^t を状態変数、\bold{y}(t)=\[ y_1(t) , y_2(t), y_3(t), \dots, y_n(t) \]^t を出力変数、\bold{u}(t)=\[ u_1(t) , u_2(t), u_3(t), \dots, u_n(t) \]^t を入力変数としたときの状態方程式（連立線形微分方程式）が、以下で書ける。

\begin{pmatrix} \dot{x}(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ C& D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ u(t) \end{pmatrix}

リャプノフの安定性理論

非線形システムを含めた安定性判別方法

可制御

有限で設定した時刻で、目標の状態変数に制御できる条件

可観測

ある有限の時刻の出力から、初期の状態変数が一意に決定できる条件

レギュレータ問題

オブザーバ問題

サーボ問題

カルマンフィルタ

トピック

行列指数関数について

工学の本を読むといきなり当たり前に使われている、ピンと来ない人が多いので、その解説 

定理：行列式の微分方程式も1変数の微分方程式と同じように解ける(かなりくだけた言い方)
 \frac{d}{dt}\bold{x}(t)=A\bold{x}(t),  \bold{x}(t)=(x_n(t), \dots, x_1(t) )^t, A=\{ a_{ij} \}
の微分方程式の解は、
 \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}A^n)\bold{x}(0)=e^{A} \dot \bold{x}(0) 
漸近安定条件は、固有値の実部が負（これについては、話が別）。

証明
まず、 \bold{x(t)}  を調べる。
 \bold{x}(t)^{(n)}=(\frac{d^n x_n(t)}{dt^n}, \dots, \frac{d^n x_1(t)}{dt^n} )^t 
とすると、マクローリン展開を適用して、
 \bold{x}(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!}\bold{{x(t)}^{(n)}}(0) 

次に、 \bold{x}^{(n)}  を調べる(Aは定数項なので、(\frac{d}{dt}(A)) = 0 )。
 \bold{x(t)}^{(2)} = \frac{d}{dt}(A\bold{x}(t)) = (\frac{d}{dt}(A)) \bold{x}(t) + A( \frac{d}{dt}{\bold{x}(t)}) = A^2 \bold{x}(t)
から、帰納的に
 \bold{x(t)}^{(n)} = A^n \bold{x}(t)

最後に、これまでの結果を利用して
 \bold{x}(t)=(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} \bold{{x(t)}^{(n)}}(0) ) = (\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} A^n ) \bold{x}(0) = e^{A} \dot \bold{x}(0)
「Note4_現代制御理論」をウィキ内検索
最終更新：2014年01月08日 13:17