考える線形代数@wiki
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ある3\times 3行列Aが，任意の空間ベクトル\boldsymbol{x}に対して

||A\boldsymbol{x}||=||\boldsymbol{x}||

を満たすとする．（このような性質を等長性といい，このような行列のことを直交行列と呼ぶ．）

(1) ||\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}||^2 = ||\boldsymbol{x}||^2+||\boldsymbol{y}||^2+2(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})を示せ．

(2) (1)を用いて(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})を示せ．

(3) \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}のなす角を\theta，A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}のなす角を\varphiとすると，（ただし，0\le \theta \le \pi, \, 0 \le \varphi \le \piとする）　\theta=\varphiであることを示せ．

(4) ||A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})|| = ||(A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})||を示せ．

(5) A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})と(A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})の向きを考えることにより，A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})=\pm (A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})を示せ．

(6) (5)で\pmの符号を決めるものはAのどのような要因であると考えられるか．


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最終更新：2010年10月30日 20:19