ある3\times 3行列Aが,任意の空間ベクトル\boldsymbol{x}に対して

||A\boldsymbol{x}||=||\boldsymbol{x}||

を満たすとする.(このような性質を等長性といい,このような行列のことを直交行列と呼ぶ.)

(1) ||\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}||^2 = ||\boldsymbol{x}||^2+||\boldsymbol{y}||^2+2(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})を示せ.

(2) (1)を用いて(A\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})を示せ.

(3) \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}のなす角を\thetaA\boldsymbol{x},A\boldsymbol{y}のなす角を\varphiとすると,(ただし,0\le \theta \le \pi, \, 0 \le \varphi \le \piとする) \theta=\varphiであることを示せ.

(4) ||A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})|| = ||(A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})||を示せ.

(5) A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})(A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})の向きを考えることにより,A(\boldsymbol{x}\times \boldsymbol{y})=\pm (A\boldsymbol{x})\times (A\boldsymbol{y})を示せ.

(6) (5)で\pmの符号を決めるものはAのどのような要因であると考えられるか.


最終更新:2010年10月30日 20:19