14章16番 - 考える線形代数@wiki - atwiki（アットウィキ）

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（基本的に「おまけ」は面白いです．）

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2葉双曲面の $z$ 成分が正の部分 $H=\left\{\left.\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\right | x^2+y^2-z^2=-1,z>0 \right\}$ について、以下の問いに答えよ。

$H$ 上の任意の点 $P\begin{pmatrix}a\\ b \\ c \end{pmatrix}$ について、ベクトル

${\boldsymbol v}_P=\begin{pmatrix}-a \\ -b \\ c \end{pmatrix}$

は $P$ において曲面 $H$ に直交することは既知であるとする。これを $H$ の $P$ における法線ベクトルという。

(1) $H$ の概形を描け。（ラフスケッチで構わない。 $z&gt;0$ に注意せよ．）

(2) 点 $P$ において曲面 $H$ に接するベクトル全体の集合を $T_PH$ で書くことにすると、 $T_PH$ とは法線ベクトル ${\boldsymbol v}_P$ に直交するベクトル全体のことである。 $T_PH$ の基底の例を求めよ。

(3) ${\mathbb R}^3$ の二つのベクトルに対して実数を対応させる写像 $L({\boldsymbol u},{\boldsymbol v})$ を

$L\left(\begin{pmatrix}u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\right) = u_1v_1 + u_2v_2 - u_3v_3$

により定義する。この $L$ は通称「ローレンツ計量」と呼ばれるが，線形代数の意味では $\mathbb{R}^3$ の計量ではない。そのことを示せ。

(4) $L$ を「 $T_PH$ の二つのベクトルに対して実数を対応させる写像」と考えると、 $L$ は線形空間 $T_PH$ の計量になっている。このことを示せ。

タグ：

双曲面計量内積ローレンツ計量ビデオ

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最終更新：2010年11月28日 10:05