量子情報物理 1

タイトルが「量子情報物理 1」となっているが第一講という訳ではないので注意。

連続量量子テレポーテーション

前回，２準位系qubitにおける量子テレポーテーションについて解説したが，今回は一般的な連続量 $|x=0 \rangle$ を初期状態とする．量子テレポーテーションについて解説した．

具体的な量子テレポーテーションに関する量子回路図は講義ノートを参照．（時間があったら図を書く予定）ここで，先日の２準位系のテレポーテーションでは，普通の制御ノットゲートが２つだが，今回は２個目の制御ノットゲートに $\dagger$ がついている．

連続な量子状態に対する各種ゲートは以下のようになっている．

まずアダマールゲートであるが，こんな感じである．

$|x=0\rangle \xrightarrow{H}|p=0\rangle=\int dx |x\rangle$ (詳しくは教科書131p参照)

さらに連続量子状態に対する制御ノットゲートについては

$|x\rangle |y\rangle \xrightarrow{U_{\mathrm{C-NOT}}}|x\rangle |x+y\rangle$

という訳でAliceとテレポートしたいターゲットをエンタングルさせる直前，つまりAliceとBobがエンタングルを終えた状態では

$\int dx |x\rangle_A |0\rangle_B \xrightarrow{H U_{\mathrm{C-NOT}}} \int dx |x\rangle_A |x\rangle_B=\sum_n |n \rangle_A |n \rangle_B$

である．最後の項を見ると，無事にエンタングルしている様子がわかるであろうか．添え字のA,Bがいきなり出てきたが，意味はわかるだろうね．ちなみに最後の項への式変形は以前にやったウィグナー関数の所で導出している．

ウィグナー関数で表現

以上の連続量テレポーテーションをウィグナー関数で書いてやろう．今までは基本的にケットベクトルが変化していくシュレディンガー描像の立場から論じてきたが，ウィグナー関数で議論することによってオブザーバブルの変化を論じるハイゼンベルグ描像の視点から論じることができる．のかな．

話をまず飛ばして，アリスとボブによるエンタングルメントが終わった時点から話を始める．この時の３つの状態すべてのウィグナー関数は

$W_{all}=W_{in}(x_{in},p_{in})W_{EPR}(x_A,p_A;x_B,p_B)$

と書かれる．V(ターゲット)はまだエンタングルしていないが，AとBはエンタングルしているので分けて書けないのである．この辺の話も量子とモグフィーのところで深く鋭く克明に簡潔にやっているので講義ノートを参照のこと．

そして次にinとAをベル測定する．ベル測定の詳細は聞き逃した．畜生．つまりこのベル測定が量子テレポーテーションの第２段階の制御ノット通してアダマール通して測定してって話をそのまま地で行っている事になる．そしてこれは実際に何をやっているのかというとHBSに通してから測定しているだけ(らしい)のである．よってHBSに通すと

$\hat{x}_A=\frac{\hat{x}_1+\hat{x}_2}{\sqrt{2}}, \hat{x}_{in}=\frac{\hat{x}_1-\hat{x}_2}{\sqrt{2}}, \ \$

$\hat{p}_A=\frac{\hat{p}_1+\hat{p}_2}{\sqrt{2}}, \hat{p}_{in}=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{2}}, \ \$

となる．ここで少しconfuseなのが前状態＝後状態の関数で書かれている点である．実際にこの式はHBSのユニタリー変換として容易に導けるが，こうしている理由は前状態のウィグナー関数，つまり $W_{all}$ の変数達を新しい変数に書き直してやることによって，それだけでHBSを通した事とできるのである．よってウィグナー関数は

$W_{in}\left( \frac{\hat{x}_1-\hat{x}_2}{\sqrt{2}}, \frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{2}} \right) W_{EPR}\left(\frac{\hat{x}_1+\hat{x}_2}{\sqrt{2}}, \frac{\hat{p}_1+\hat{p}_2}{\sqrt{2}};\hat{x}_B,\hat{p}_B \right)$

と書くことができる．ここでいきなりP_1とかx_2とか数字が出てきたが， 1はアリスのビット，2はVのビットである．

ここでベル測定，つまりp_1とx_2について測定してあげることを考える．つまりウィグナー関数をx_2とp_1で積分してやるのである．すると，過酷な計算の末に

$W_{in}(x_B+\sqrt{2}x_1,p_B-\sqrt{2}p_2)$

が得られる．

実は最初の入力状態は真空状態を好くスクイージングパラメーターrでスクイージングしたもんである．このスクイージングパラメータrが無限になれば量子テレポーテーションが上手くいく？
最後の式の導出途中でコンボリューションが出てきた．これとデルタ関数が出ることによって一番下のきれいな形になる．この頃になると疲れてあまり講義内容をまじめに聞いていなかった為，憶えていない．

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最終更新：2008年12月02日 16:11

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