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確率数理要論 メモと練習問題4

  • 定理(X_nが確率収束⇒P_nは弱収束)

ある確率空間(Ω,F,P)上の確率変数列X_n(n=1,2,..)が確率変数Xに確率収束するとする．P_nをX_nの確率分布，PをXの確率分布とする時，P_n(n=1,2,...)はPに弱収束する．

証明は任意の実数εに対して

F_n(x) \leq F(x+\varepsilon)+\varepsilon ...(a)

F_n(x) \geq F(x-\varepsilon)-\varepsilon ...(b)

が成立する．ここからεをゼロに漸近させていくと，つまりnを無限大に持って行くと挟み撃ちの定理より \lim_{n\rightarrow \infty}F_n(x)=F(x) が得られる．20pの定理より，FがこうなればFを基にしたPは確率収束である事が言える．

-本当は最後の詰めは(b)右辺<F_nの下極限<F_nの上極限<(a)右辺とやってから結論に持っていく必要がある．


  • 定義(Levi距離)

P,Qを実数上の確率測度，F,Gを対応する確率分布関数とする．このとき

L(F,G):= \inf\{h>0:F(x-h)-h \leq G(x) \leq F(x+h)+h \ \ \mathrm{for all}\ x \}

をFとGの間のLevy距離と呼ぶ．

-Levy距離は距離の公理を満たす立派な距離である．

  • 定理

P_n，Pはそれぞれ実数上の確率測度である．この時

P_nがPに弱収束⇔L(P_n,P)→0

-iffである．弱収束に関する話は距離空間で議論できる様になる．

-Levy距離の他にも事象Aでの確率測度の差の絶対値を取ったものを全事象で上限を取った物もある．これを全変動距離と言う．

-全変動距離の意味で弱収束⇒Levy距離の意味で弱収束が言える．

  • 定理(Helly-Brayの定理，列F_nを一般的なFに収束させられる)

{F_n}を任意の確率分布関数列とする．適当な{n}の部分列{n_i}と実数上の単調非減少で右連続なかん数F(0<F<1)をとることによりFの任意の連続店xで\lim_{i \rightarrow \infty}F_{n_i}(x)=F(x)と取る事が出来る．

-この定理は確率分布関数っぽいF(x)を与えるが，xがマイナス無限大と無限大においてそれぞれ0と1となるとは限らない．つまり確率分布関数になるとは限らない．収束先が確率分布関数となるために，次のタイトの定義とProhorovの定理の特別な場合が用いられる．

  • 定義(タイトネス)

確率分布関数の列{F_n}があり，P_nをF_nに対応する確率測度とする．任意の与えられたε>0に対しあるC>0が存在して任意のnに対して

P_n([-C,C])=F_n(C)-F_n(-C-)>1-\varepsilon

な時，{F_n}はタイトであると言う．ここに

F_n(-C-):=\lim_{x \uparrow -C}F_n(x)


-この定義が確率分布関数列の裾の確率測度が任意の定数で抑えられることを意味している．これによって無限に飛ぶようなxについて確率測度がゼロに限りなく近くなる．

  • 定理(Prohorovの定理の特別な場合)

確率分布関数の列{F_n}がタイトである時，ある確率分布関数Fに弱収束する｛F_n}の部分列が存在する．


もうちょっとこのwikiの書き方工夫したほうがいいな．

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最終更新：2008年12月03日 14:19
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