観測量の発展方程式の増分について

観測量X(t)の時間発展を表現する式はX_0を観測量の初期値，時間発展演算子をUだとすると，以下の様に表される．

$X(t)=U^{\dagger}(t)X_0U(t)$

この式から，形式的な微分を取ったものとも言える観測量の微少時間増分dX(t)は

$dX(t)}=(dU^{\dagger})X_0U+U^{\dagger}X_0 (dU)+(dU^{\dagger})X_0(dU)$ ...(a)

が得られる．この増分は以下の様にして得られる．

まず，一般的な変数X(t)の増分の定義 $dX(t)=X(t+dt)+X(t)$

からスタートする．ここにdtは微小時間増分である．そして $X(t+dt)=U^{\dagger}(t+dt)X_0 U(t+dt)$ である事から，じゃあU(t+dt)とは何ぞやということを考えると，増分の定義に戻って

$U(t+dt)=U(t)+dU(t)$

が言える．これをX(t+dt)の式に代入すると

$X(t+dt)=(U(t)+dU(t))^{\dagger}X_0(U(t)+dU(t))$ $=(dU^{\dagger})X_0U+U^{\dagger}X_0 (dU)+(dU^{\dagger})X_0(dU)+U^{\dagger}(t)A_0U(t)$

が得られるので，dx(t)の式にこれを代入することによって(a)を得る．

最終更新：2008年12月05日 17:15

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