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線形量子システム出力方程式のとある項について

ハドソン・パササラシー方程式からの線形量子システム導出

線形量子システムと言うか外部ボゾン場の出力方程式

dY_t=Cx_t+DdA_t

についてなんだけど，セオリー通りにdY_t=U_t^*A_t U_tをやって行ったら

dA_t^*A_t dA_t

の様にボゾン場の増分がボゾン場の値を挟んでいて，係数的にLの二次を持っている項が出てきた． これの計算について，A_t=A_{t+dt}-dA_tであるので

dA_t^* A_t dA_t =dA_t^*(A_{t+dt}-dA_t ) dA(t)

だが，伊藤ルールにより右辺第二項の伊藤過程の1.5次(？)以上の積がある項はゼロとなるので

dA_t^* A_t dA_t =dA_t^* A_{t+dt} dA_t

となる．あれ？中身の消滅生成演算子の時間的位置に関わらず常識は不変なの？と思い，

A_t=A_{t-dt}+dA_{t-dt}

の様に置いて調べて見よう．計算すると

dA_t^* A_t dA_t=dA_t^* (A_{t-dt}+dA_{t-dt}) dA_t

である．ここからもし，時間が違う過程の間にも1.5次以上の伊藤ルールが適用できるならば，

dA_t^* A_t dA_t=dA_t^* A_{t-dt} dA_t

が言える．これを繰り返すことにより，

dA_t^* A_t dA_t=dA_t^* A_0 dA_t

も言える．ここで3つ目，ボゾン場を表す確率過程が形式的に

A_t=\int_0^t \eta(s)ds

で書けたと言う事実を思い出すと，当然

A_0=\int_0^0 \eta(s)ds=0

である．つまり

dA_t^* A_t dA_t=dA_t^* A_0 dA_t = dA_t^* 0 dA_t=0

が言える．他のdAとdA^*の組み合わせも同様にゼロとなる．こんな事が果たして言えるのだろうか．これを言うのに必要な条件は3つある．

  • dA_{t-dt}=A(t)-A(t-dt)が言える．
  • dA_t dA_s =dA_t^*dA_s=dA_t^*dA_s^*=0 \ \ (t \neq s)
  • A_0=\int_0^0 \eta(s)ds=0

どうなんでしょね．

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最終更新：2008年12月11日 14:50
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