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2 粒子と場(SKI)

  • 2.1 粒子とは何か？

粒子の条件が６つほど書かれている。

強い相互作用をするのがハドロン
強い相互作用をしないのがレプトン

バリオンのうち、スピンが
半奇数のものをバリオン
整数のものをメソン
という。

  • 2.2 場の概念

[演習2.1]
\alpha = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 \hbar c}
= \frac{[(1.60 \times 10^{-19}{\rm sA})^2]}{4 \times 3.14 \times 8.854 \times 10^{-12} [{\rm m^{-3}kg^{-1}s^4A^2}] \times 1.055 \times 10^{-34} [{\rm m^2 kg s^{-1}}] \times 2.998 \times 10^{8} [{\rm m s^{-1}}]}
= \frac{1.60^2}{4 \times 3.14 \times 8.854 \times 1.055 \times 2.998}
\sim \frac{1}{137}

\alpha_{\rm G} = 6.674 \times 10^{-11} [{\rm m^3 kg^{-1} s^{-2}}] \times \frac{(1.673 \times 10^{-27} [{\rm kg}])^2}{1.055 \times 10^{-34} [{\rm m^2 kg s^{-1}}] \times 2.998 \times 10^{8} [{\rm m s^{-1}}]}
= 5.9 \times 10^{-39}

プランク質量をm_{\rm Pl}とすると、
\alpha_{\rm G} = 1 = 5.9 \times 10^{-39} \times \left(\frac{m_p}{m_{\rm Pl}}\right)^2
m_{\rm Pl} = 7.68 \times 10^{-20} \times m_p = 7.68 \times 10^{-20} [{\rm GeV}]

[式2.27が2.26の式を満たす証明]
\phi^* \partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi - \phi \partial_{\mu}\partial^{\mu}\phi^*
って、常に0になる？

クラインゴルドン方程式から
[\partial_{\mu}\partial^{\mu} + \mu^2]\phi = 0
[\partial_{\mu}\partial^{\mu} + \mu^2]\phi^* = 0
だから、これを使えば0になるのか。

[演習2.2]
フーリエ変換を使う
\phi ({\bf r}) = \frac{1}{(2\pi )^3}\int \phi ({\bf p})\exp (i{\bf p}\cdot {\bf r}) d{\bf p}
\delta ({\bf r}) = \frac{1}{(2\pi )^3}\int \exp (i{\bf p}\cdot {\bf r}) d{\bf p}
これを
[-\nabla^2+\mu^2]\phi ({\bf r}) = g\delta ({\bf r})
にいれて整理すると、
[{\bf p}^2+\mu^2]\phi ({\bf p}) = g
よって、
\phi ({\bf r}) = \frac{1}{(2\pi )^3}\int \frac{g}{{\bf p}^2+\mu^2} \exp (i{\bf p}\cdot {\bf r}) d{\bf p}
ここで、{\bf p}を{\bf r}が(0,0,r)となるような系の極座標にとると、
\phi ({\bf r}) = \frac{1}{(2\pi )^3} \int_0^{\infty}dp\int_0^{\pi}d\theta\int_0^{2\pi}d\phi \frac{g}{p^2+\mu^2}\exp (ipr\cos\theta)p^2\sin\theta
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\int_0^{\pi}d\theta\frac{g}{p^2+\mu^2}\exp (ipr\cos\theta)p^2\sin\theta
いま、\cos\theta = tとおくと、-\sin\theta = dtより、
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\int_{-1}^{1}dt\frac{g}{p^2+\mu^2}\exp (iprt)p^2
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\frac{gp^2}{p^2+\mu^2}\int_{-1}^{1}dt\exp (iprt)
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\frac{gp^2}{p^2+\mu^2}\left[\frac{\exp (iprt)}{ipr}\right]_{-1}^1
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\frac{gp^2}{p^2+\mu^2}\left(\frac{\exp (ipr)}{ipr}-\frac{\exp (-ipr)}{ipr}\right)
=\frac{1}{(2\pi )^2}\int_0^{\infty}dp\frac{p^2}{p^2+\mu^2}\frac{2i\sin (pr)}{ipr}
=\frac{g}{(2\pi )^2r}\int_0^{\infty}dp\frac{2p\sin (pr)}{p^2+\mu^2}
ここで、
C1:(-\infty,0)→(\infty,0)の直線、C2:(\infty,0)→(-\infty,0)の虚部正の円弧を考えると、積分
I = \oint_{C1+C2}dp\frac{p\exp (ipr)}{p^2+\mu^2}
は、
I = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{p\exp (ipr)}{p^2+\mu^2}dp + \lim_{R\rightarrow\infty}\int_0^{\pi}d\xi\frac{Re^{i\xi}\exp (iRe^{i\xi}r)}{R^2e^{2i\xi}+\mu^2}
= \int_{-infty}^0\frac{p\exp (ipr)}{p^2+\mu^2}dp + \int_0^{\infty}\frac{p\exp (ipr)}{p^2+\mu^2}dp
= \int_0^{\infty}\frac{-p\exp(-ipr)}{p^2+\mu^2}dp + \int_0^{\infty}\frac{p\exp (ipr)}{p^2+\mu^2}dp
= \int_0^{\infty}\frac{2pi\sin (pr)}{p^2+\mu^2}dp
となり、求めたい積分の係数を除いたものにiをかけたものとなる。
この積分は、留数定理を使って、
I = 2\pi i {\rm Res}(i\mu ) = 2\pi i \left[\frac{p\exp (ipr)}{p + i\mu}\right]_{p = i\mu}
= 2\pi i \frac{i\mu\exp (-\mu r)}{2i\mu}
= \pi i \exp (-\mu r)
よって、求めたい積分は、
\frac{g}{(2\pi )^2r} \pi \exp (-\mu r) = \frac{g}{4\pi}\frac{1}{r}\exp (-\mu r)
である。

[演習2.3]
到達距離は、
r_0 = \hbar / mc = 6.582 \times 10^{-25} [{\rm GeV s}] / 80 [{\rm GeV}] \times 2.998 \times 10^8[{\rm m}]
= 2.5 \times 10^{-16} [{\rm cm}]
となる

[演習2.4]
m = \frac{\hbar}{r_0c}
= \frac{1.055 \times 10^{-34} [{\rm m^2 kg s^{-1}}]}{1 \times 10^4 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 [{\rm s}] \times 2.998 \times 10^8 [{\rm m s^{-1}}] \times 2.998 \times 10^8 [{\rm m s^{-1}}]}
= 3.8 \times 10^{-63} [{\rm kg}] = 2.2 \times 10^{-27} [{\rm eV}]

  • 2.3 ローレンツ変換

ここでは、
\frac{\partial x^{\prime \mu}}{\partial x^{\nu}} = L^{\mu}_{\;\;\nu}A^{\nu}
\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}} = L^{-1 \; \mu}_{\;\;\;\;\nu}A^{\nu}
を用いる。

[演習2.5]
\partial^{\prime}_{\mu} = \frac{\partial}{\partial x^{\prime \; \mu}}
=\frac{\partial}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\prime \mu}}
=\partial_{\nu}L^{-1 \; \nu}_{\;\;\;\;\mu}
よって、共変である。

[演習2.6]
A^{\prime\;\mu}B^{\prime}_{\mu} = L^{\mu}_{\;\;\nu}A^{\nu}L^{-1 \; \rho}_{\;\;\;\;\mu}B_{\rho}
=\delta^{\rho}{\nu}A^{\nu}B_{\rho} = A^{\nu}B_{\nu}

[演習2.7]
A^{\prime\;\mu} = L^{\mu}_{\;\;\nu}A^{\nu}
A^{\prime\;\mu}B^{\prime}_{\;\mu} = A^{\nu}B_{\nu}
が条件。このとき、
L^{\mu}_{\;\;\nu}A^{\nu}B^{\prime}_{\;\mu} = A^{\nu}B_{\nu}
となるので、両辺を比較すると、
L^{\mu}_{\;\;\nu}B^{\prime}_{\;\mu} = B_{\nu}
L^{-1\;\nu}_{\;\;\;\;\rho}をかけて
\delta^{\mu}_{\rho}B_{\mu} = L^{-1\;\nu}_{\;\;\;\;\rho}B_{\nu}
B_{\rho} = L^{-1\;\nu}_{\;\;\;\;\rho}B_{\nu}

[演習2.8]
d^4x \equiv dx^0dx^1dx^2dx^3
d^4x^{\prime} = |{\bf L}|d^4x
=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right| d^4x
=(\gamma^2-\beta^2\gamma^2)d^4x = d^4x

次はわからないなー。どうやるんだろ。


[演習2.9]

L_1 = M_{23} = \epsilon_{23k}\frac{\sigma_k}{2}=\frac{\sigma_1}{2}
L_2 = M_{31} = \epsilon_{31k}\frac{\sigma_k}{2}=\frac{\sigma_2}{2}
L_3 = M_{12} = \epsilon_{12k}\frac{\sigma_k}{2}=\frac{\sigma_3}{2}
N_1 = M_{01} = i\frac{\sigma_1}{2}
N_2 = M_{02} = i\frac{\sigma_2}{2}
N_3 = M_{03} = i\frac{\sigma_3}{2}
となるので、
[L_1,L_2] = \frac{\sigma_1}{2}\frac{\sigma_2}{2}- \frac{\sigma_2}{2}\frac{\sigma_1}{2}
= \frac{1}{2}\sigma_1\sigma_2 = \frac{1}{2}i\sigma_3 = iL_3
[N_1,N_2] = i\frac{\sigma_1}{2}i\frac{\sigma_2}{2}-\frac{\sigma_2}{2}\frac{\sigma_1}{2}
= - \frac{1}{2}\sigma_1\sigma_2 = - \frac{1}{2}i\sigma_3 = -iL_3
[L_1,N_2] = \frac{\sigma_1}{2}i\frac{\sigma_2}{2}- \frac{\sigma_2}{2}i\frac{\sigma_1}{2}
= i\frac{1}{2}\sigma_1\sigma_2 = i\frac{1}{2} i\sigma_3 = iN_3
のように計算すると、満たされているのがわかる。

[演習2.10]

よくわかりません

[演習2.11]

\epsilon^{\prime \mu\nu\rho\sigma} = L^{\mu}_{\;\;\alpha}L^{\nu}_{\;\;\beta}L^{\rho}_{\;\;\gamma}L^{\sigma}_{\;\;\delta}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}
=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} det{\bf L} = \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}

なんだそうだが、途中の変形が不明。

[演習2.12]

r_e = \frac{1}{137}\frac{\hbar c}{m_e c^2} = \frac{1.97\times10^{-11} [{\rm MeV\cdot cm}]}{137 \times 0.511 [{\rm MeV}]}

[演習2.13]

\nu_e (0)はt秒後には、
\nu_e (t) = \cos\theta |\nu_1(t)>+\sin\theta |\nu_2(t)>
\cos\theta |\nu_1(0)e^{-iE_1t}+\sin\theta |\nu_2(0)>e^{-iE_2t}
となる。このとき\nu_{\mu}状態に変わって観測される確率は、
|<\nu_{\mu}(0)|\nu_e(t)>|^2
となる。
これを計算すると、
p = |<\nu_{\mu}(0)|\nu_e(t)>|^2
=|\sin\theta\cos\theta (e^{-iE_1t}-e^{-iE_2t})|^2
=\sin^2\theta\cos^2\theta |e^{-i(p+\frac{m_1^2}{2p})t}-e^{-i(p+\frac{m_2^2}{2p})t}|^2
=\sin^2\theta\cos^2\theta |e^{-i(p+\frac{m_1^2+m_2^2}{4p}}(e^{-i\frac{m_1^2-m_2^2}{4p}t}-e^{i\frac{m_1^2-m_2^2}{4p}t}|^2
=\sin^2 2\theta\sin^2\frac{m_1^2-m_2^2}{4p}t



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最終更新：2014年03月29日 16:42