みなのお勉強の部屋
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PDFの理解のために

CMBの温度非等方性はガウシアンになるには、probability density function (PDF)が以下のようになる時。
P_g (\Delta T) = \frac{1}{(2\pi)^{N_{\rm pix}/2} |\xi |^{1/2}}\exp\left[-\frac{1}{2}\sum_{ij}\Delta T_i (\xi^{-1})_{ij}\Delta T_j\right]
ここで、
\xi_{ij} \equiv \left<\Delta T_i\Delta T_j\right>
は、two-point correlation functionで、|\xi |はその行列式。

＜まず、この式の意味が分からないが、とりあえず進んでみる＞

\Delta T(\hat{{\bf n}}) = \sum_{lm}a_{lm}Y_{lm}(\hat{{\bf n}})
と、球面調和関数で展開。すると、

P_g(a) = \frac{1}{(2\pi )^{N_{\rm harm}/2}|C|^{1/2}} \exp\left[-\frac{1}{2}\sum_{lm}\sum_{l^{\prime}m^{\prime}}a_{lm}^*(C^{-1})_{lm,l^{\prime}m^{\prime}}a_{l^{\prime}m^{\prime}}\right]
ここで、
C_{lm,l^{\prime}m^{\prime}} \equiv \left<\Delta T_i\Delta T_j\right>
で、N_{{\rm harm}}は、合計するlとmの数。

＜この辺の細かい計算も分からない・・・＞

CMBが統計的に一様等方なら、
C_{lm,l^{\prime}m^{\prime}} = C_l \delta_{ll^{\prime}} \delta_{mm^{\prime}}
であるから、
P_g(a) = \prod_{lm} \frac{e^{-|a_{lm}|^2/(2C_l)}}{\sqrt{2\pi C_l}}
となる。

＜なるの？？？結局なにひとつわからんぞ＞


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最終更新：2014年10月09日 03:10