みなのお勉強の部屋
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angular bispectrumがわからない

Luo(1994)が、最初にCMBに使った論文かな？
この論文に沿って話を整理するのがよかろう。

  • 2014/10/09

と思ったら、(2)式で行き詰ったぞ。
今度は、two-point temperature correlation functionがわからない。

まあ、言葉でいうと、
”ある範囲の中にある、２つの点がある距離にある確率を決めるもの”
なのだけれど、数式になるとよくわからないな。
とりあえず、Bond and Efstathiou (1987)なのかなあ？

しかし、これでもよくわからない。
統計の教科書に頼ってみるか。

計算の細かい点を除いて、簡単に言うと。

PDFがガウシアンのとき、相関関係を球面調和関数で展開したときの係数a_{lm}は、スペクトルをとると、\left<a_{l_1m_1}a_{l_2m_2}\right>はガウシアンによるある値になる。
しかし、angular bispectrumになると、必ず0になってしまう。
もし、これが0でないとき、PDFがガウシアンからずれていることがわかり、その情報が得られることになる。
だから、angular bispectrumを使って、ガウシアンからのずれを研究しようという流れ。

式の細かい意味は難しすぎてわからんなー。
解説してるものないのかねー？？？

  • 2014/10/12

２点相関関数から順に整理してみる。
松原の「現代宇宙論」の266ページ。
元ページは、ここに細かいプロセスは書いてある。

まず、２点相関関数は、２つの点{\bf r}_1,{\bf r}_2を選んだ時にそれぞれの点における密度揺らぎを\delta ({\bf r}_1),\delta ({\bf r}_2)とすると、
\xi (r_{12}) = \left<\delta ({\bf r}_1),\delta ({\bf r}_2)\right>
と書ける。このブラケットの中身は、２点の密度揺らぎの積であり、クラスタリングしている範囲では大きくなるし、そうでなければ小さくなる。これを、ある距離を固定して平均したとき、そのスケールでのクラスタリングの度合いがわかるということ。

密度場\varrho = \bar{\varrho} + \bar{\varrho}\deltaを使うと、
\left<\varrho ({\bf r}_1)\varrho ({\bf r}_2)\right> = \left<(\bar{\varrho} + \bar{\varrho}\delta ({\bf r}_1))(\bar{\varrho} + \bar{\varrho}\delta ({\bf r}_2))\right>
=\bar{\varrho}^2(1 + \left<\delta ({\bf r}_1)\right> + \left<\delta ({\bf r}_2)\right> + \left<\delta ({\bf r}_1)\delta ({\bf r}_2)\right>)
=\bar{\varrho}^2(1+\left<\delta ({\bf r}_1)\delta ({\bf r}_2)\right>)
=\bar{\varrho}^2(1+\xi (r_{12}))
とあらわされる。

次にパワースペクトルを考える。

密度揺らぎのフーリエ変換を考える。
\tilde{\delta}({\bf k}) = \int dr^3 e^{-i{\bf k}{\bf r}}\delta ({\bf r})
すると、 フーリエ空間での相関は、
\left<\tilde{\delta}({\bf k}_1)\tilde{\delta}({\bf k}_2)\right> = \left<\int {d^3r}_1 e^{-i{\bf k_1}{\bf r_1}}\delta ({\bf r}_1)\int {d^3r}_2 e^{-i{\bf k_2}{\bf r_2}}\delta ({\bf r}_2)\right>
= \int {d^3r}_1 {d^3r}_2 e^{-i{\bf k_1}{\bf r_1}-i{\bf k_2}{\bf r_2}} \left<\delta ({\bf r}_1)\delta ({\bf r}_2)\right>
= \int {d^3r}_1 {d^3r}_2 e^{-i{\bf k_1}{\bf r_1}-i{\bf k_2}{\bf r_2}}\xi (r_{12})
となる。

積分を実行する。{\bf r_1} = {\bf r} + {\bf r_2}と変数変換すると、
\left<\tilde{\delta}({\bf k}_1)\tilde{\delta}({\bf k}_2)\right> = \int {d^3r} {d^3r}_2 e^{-i{\bf k_1}{\bf r}-i({\bf k_1}+{\bf k_2}){\bf r_2}}\xi (|{\bf r}|)
=(2\pi )^3 \delta_D^3({\bf k_1}+{\bf k_2})\int {d^3r} e^{-i{\bf k_1}{\bf r}}\xi (|{\bf r}|)

積分部分は、
\int {d^3r} e^{-i{\bf k_1}{\bf r}}\xi ({\bf r}) = 4\pi\int_0^{\infty} r^2 dr \frac{\sin (k_1r)}{k_1 r}\xi (r)
であり、この部分をP(k)と書き、パワースペクトルと呼ぶ。

＝＝＝
とここまで書いて気づいた。
松原の「現代宇宙論」の296ページから、角度パワースペクトルについて書かれてた。
まあ、パワースペクトルのイメージわいたし、いいか。
下を書いて気づいてから、335ページにも少しあることに気づいた。
＝＝＝

２次元ゆらぎ\delta (\theta ,\phi )からスタートする。
このゆらぎを、球面調和関数で展開する。
\delta (\theta ,\phi ) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}a_{lm}Y_l^m(\theta ,\phi )

このとき、
\int \sin\theta d\theta d\phi Y_l^{m*} (\theta ,\phi )Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}} (\theta ,\phi ) = \delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}
だから、展開係数は、
a_{lm} = \int \sin\theta d\theta d\phi Y_l^{m*}(\theta ,\phi )\delta (\theta ,\phi )
となる。

展開係数の積の平均を考えると、
\left<a_{lm}^*a_{l^{\prime}m^{\prime}}\right>
= \int \sin\theta_1 d\theta_1 d\phi_1 Y_l^{m}(\theta_1 ,\phi_1 )\sin\theta_2 d\theta_2 d\phi_2 Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}*}(\theta_2 ,\phi_2 )\left<\delta (\theta_1 ,\phi_1 )\delta (\theta_2 ,\phi_2 )\right>
=\int \sin\theta_1 d\theta_1 d\phi_1 Y_l^{m}(\theta_1 ,\phi_1 )\sin\theta_2 d\theta_2 d\phi_2 Y_{l^{\prime}}^{m^{\prime}*}(\theta_2 ,\phi_2 )w(\theta_{12})
となり、w(\theta_{12})は、角度相関関数であり、\theta_{12}は、球面上の２点の間の角度。

角度相関関数のルジャンドル展開を考えると、
w(\theta_{12}) = \sum_{l=0}^{\infty}\frac{2l+1}{4\pi}C_lP_l(\cos\theta )
であり、ルジャンドル多項式は、球面調和関数で展開され、
P_l(\cos\theta_{12}) = \frac{4\pi}{2l+1}\sum_mY_l^{m*}(\theta_1 ,\phi_1 )Y_l^{m}(\theta_2 ,\phi_2 )
となることと、直交関係を使うと、
\left<a_{lm}^*a_{l^{\prime}m^{\prime}}\right> = \delta_{ll^{\prime}}\delta_{mm^{\prime}}C_l
が与えられる。このとき、C_lをangular power spectrum（角度パワースペクトル）という。

ルジャンドル多項式の直交関係
\int_0^{\pi}\sin\theta d\theta P_l(\cos\theta )P_{l^{\prime}}(\cos\theta ) = \frac{2}{2l+1}\delta_{ll^{\prime}}
より、
C_l = 2\pi\int\sin\theta d\theta P_l(\cos\theta ) w(\theta )
と表現でき、ルジャンドル多項式のふるまいから、角度パワースペクトルは、lが大きいほど、小角度の相関関数に敏感。
おおまかには、l \sim \pi /\thetaとなる。

これを３次に拡張したものが、angular bispectrum
B_3(l_1m_1,l_2m_2,l_3m_3) = \left<a_{l_1}^{m_1}a_{l_2}^{m_2}a_{l_3}^{m_3}\right>
なんだけど、その性質はよくわからんな。今日は、ここまでにしとくか。



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最終更新：2014年10月12日 23:37