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K-correctionの話

松原５４ページを参考にK-correctionについてまとめておく。

みかけの明るさは、距離の逆二乗則に従うというのが、普通の感覚。
でも、膨張宇宙では、そうはならない。

微小な波長範囲[\lambda , \lambda + {\delta\lambda} ]における天体の光度をL( \lambda ){\delta\lambda}とし、
同じ波長範囲のフラックスをF( \lambda ){\delta\lambda}とする。
静止ユークリッド空間において、距離rにある天体の光度とフラックスの関係は観測する波長によらず、
F( \lambda )=\frac{L( \lambda )}{4\pi r^2}
となる。しかし、ロバートソンウォーカー計量では膨張と曲率の効果で変更される。

宇宙膨張による赤方偏移のために、光のエネルギーが小さくなる。
波長範囲[\lambda , \lambda + {\delta\lambda} ]で時間範囲[t , t + {\delta t} ]に放出されるエネルギーは、
{\delta E}=L( \lambda ){\delta\lambda}{\delta t}
である。1光子あたりのエネルギーは2\pi\hbar c/\lambdaなので、光子数は、
{\delta N}=\frac{\delta E}{2\pi\hbar c/\lambda}=\frac{\lambda L( \lambda )}{2\pi\hbar c}{\delta\lambda}{\delta t}
であり、ここで、観測される波長\lambda_0=(1+z)\lambdaで、受け取る時間間隔{\delta t_0}=(1+z){\delta t}だから、
{\delta N}=\frac{\lambda_0}{2\pi\hbar c (1+z)^3}L\left(\frac{\lambda_0}{1+z}\right){\delta\lambda_0}{\delta t_0}
となる。
ロバートソンウォーカー計量では、座標距離rが一定の球面の面積は4\pi r^2なので、
観測者が単位面積単位時間当たりに受けるエネルギーは、
F( \lambda_0 ){\delta \lambda_0}=\frac{2\pi\hbar c/\lambda_0 \cdot \delta N}{4\pi r^2{\delta t_0}}
となるから、
F( \lambda_0 )=\frac{1}{4\pi r^2(1+z)^3}L\left(\frac{\lambda_0}{1+z}\right)
となる。

ここで、ボロメトリックな量を考える。
F_{\rm bol}=\int_0^{\infty}F( \lambda_0 )d\lambda_0
L_{\rm bol}=\int_0^{\infty}L( \lambda_0 )d\lambda_0
すると、単純に
$$F_{\rm bol}=\frac{L_{\rm bol}}{4\pi r^2(1+z)^2}
となる。
あたかも、静止ユークリッド空間にいるかのように距離を見積もると、
d_L\equiv \sqrt{\frac{L_{\rm bol}}{4\piF_{\rm bol}}}=(1+z)r(z)
となり、これを光度距離と呼ぶ。

等級について考える。基準等級F_0=2.52\times 10^{-5}{\rm erg/cm^2/s}として、みかけの等級は
m=-2.5\log \left(\frac{F_{\rm bol}}{F_0}\right)
と、与えられる。10pcにおいたときのみかけの等級を絶対等級と呼び、z=0の近似で、
M=-2.5\log \left(\frac{F_{\rm bol,10pc}}{F_0}\right)=-2.5\log \left(\frac{L_{\rm bol}}{4\pi (10pc)^2F_0}\right)
で、定義される。すると、
d_L=10^{1+0.2(m-M)}{\rm pc}
となり、m-Mをdistance modulusと呼ぶ。

ある波長範囲Aに限って考えると、
F_{\rm A}=\int_AF( \lambda_0 ) d\lambda_0=\frac{1}{4\pi r^2(1+z)^3}\int_AL\left(\frac{\lambda_0}{1+z}\right)d\lambda_0
であり、10pcにおくと、
F_{\rm A,10pc}=\frac{1}{4\pi (10pc)^2}\int_AL\left(\lambda_0\right)d\lambda_0
であるから、この波長でのdistance modulusは、
m_A-M_A=-2.5\log\left(\frac{F_{\rm A}}{F_{\rm A,10pc}}\right)=5\log\left(\frac{d_L}{10pc}\right)-K(z)
となる。このK(z)がK補正で、
K(z)=2.5\log\left[\int_AL\left(\frac{\lambda_0}{1+z}\right)\frac{d\lambda_0}{1+z}\right]-2.5\log\left[\int_AL( \lambda_0 )d\lambda_0\right]


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最終更新：2015年04月02日 17:56