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留数積分が目的なら完璧にLaurent展開しなくても部分分数分解で十分なことに注意！
（積分の線形性によってバラバラに扱えば別々のローラン展開を計算していることになる）
== z=0 を中心としたLaurent展開 ==
'''等比級数'''
<math>\frac{1}{1-r} = \sum_{n=1}^\infty r^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty r^n = 1 + r + r^2 + \cdots \quad (|r|<1)</math>
'''Rem. '''
<math>\frac{r}{1-r} = \sum_{n=1}^\infty r^n = r + r^2 + r^3 + \cdots</math>
'''Cor. '''
<math>\frac{1}{(1-r)^2} = \left( \sum_{n=1}^\infty r^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = 1 + 2r + 3r^2 + \cdots </math> ←「常識」(by 谷G)
'''指数関数'''
<math>e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \quad (z \in \mathbb{C})</math> ←極を持たない。
'''Cor. '''
<math>e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!z^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{-n}}{n!} \quad (z \in \mathbb{C})</math> ←神聖特異点
== 応用 ==
'''逆数のLaurent展開'''
z=αを中心に展開する。
w=z-α とおけばよい。
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{w+\alpha} = \frac{1}{\alpha} \frac{1}{1-\left (-\frac{w}{\alpha}\right)} = \frac{1}{\alpha} \sum_{n=1}^\infty \left (-\frac{w}{\alpha}\right)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\alpha^{n+1}} (z-\alpha)^n \quad (\big|\frac{w}{\alpha} \big|<1)</math>
'''Cor. '''
<math>f(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n</math> が分かっているとき。
<math>\frac{1}{f(t)} = \frac{1}{a_0 + (f(t)-a_0)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a_0^{n+1}} (f(t)-a_0)^n</math>
'''Rem. '''
あるいは，割り算の筆算をガリガリ実行してもおｋ
<math>f(t) = \frac{1}{a_0}-\frac{a_1}{a_0^2}t + \frac{a_1^2-a_0 a_2}{a_0^3}t^2 - \cdots</math>
ただし収束半径はLaurent展開のほうから鑑みないと分からん。<math>\big|\frac{f(t)}{a_0}-1 \bi|<1</math>
留数積分が目的なら完璧にLaurent展開しなくても部分分数分解で十分なことに注意！
（積分の線形性によってバラバラに扱えば別々のローラン展開を計算していることになる）
== z=0 を中心としたLaurent展開 ==
'''等比級数'''
<math>\frac{1}{1-r} = \sum_{n=1}^\infty r^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty r^n = 1 + r + r^2 + \cdots \quad (|r|<1)</math>
'''Rem. '''
<math>\frac{r}{1-r} = \sum_{n=1}^\infty r^n = r + r^2 + r^3 + \cdots</math>
'''Cor. '''
<math>\frac{1}{(1-r)^2} = \left( \sum_{n=1}^\infty r^n \right)' = \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = 1 + 2r + 3r^2 + \cdots </math> ←「常識」(by 谷G)
'''指数関数'''
<math>e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \quad (z \in \mathbb{C})</math> ←極を持たない。
'''Cor. '''
<math>e^{\frac{1}{z}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!z^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^{-n}}{n!} \quad (z \in \mathbb{C})</math> ←神聖特異点
== 応用 ==
'''逆数のLaurent展開'''
z=αを中心に展開する。
w=z-α とおけばよい。
<math>\frac{1}{z} = \frac{1}{w+\alpha} = \frac{1}{\alpha} \frac{1}{1-\left (-\frac{w}{\alpha}\right)} = \frac{1}{\alpha} \sum_{n=1}^\infty \left (-\frac{w}{\alpha}\right)^{n-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\alpha^{n+1}} (z-\alpha)^n \quad \left(\Big|\frac{w}{\alpha} \Big|<1 \right)</math>
'''Cor. '''
<math>f(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n t^n</math> が分かっているとき。
<math>\frac{1}{f(t)} = \frac{1}{a_0 + (f(t)-a_0)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{a_0^{n+1}} (f(t)-a_0)^n</math>
'''Rem. '''
あるいは，割り算の筆算をガリガリ実行してもおｋ
<math>f(t) = \frac{1}{a_0}-\frac{a_1}{a_0^2}t + \frac{a_1^2-a_0 a_2}{a_0^3}t^2 - \cdots</math>
ただし収束半径はLaurent展開のほうから鑑みないと分からん。<math>\Big|\frac{f(t)}{a_0}-1 \Big|<1</math>
