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三角行列 - (2011/11/09 (水) 17:54:02) の１つ前との変更点
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=代数構造=
下(上)三角行列は通常の和と積で非可換環(多元環, 代数)をなす。
<math>U, V \in \mathrm{Upper}(n) </math>
(i) <math>U+V \in \mathrm{Upper}(n)</math>
(ii) <math> UV \in \mathrm{Upper}(n)</math>
'''Rem. '''
積は非可換だが，対角成分のみに着目すれば可換であり，
しかもそれは対角同士の積である。
<math>\mathrm{diag}( AB ) = \mathrm{diag}( BA ) = \mathrm{diag}(A) * \mathrm{diag}(B)</math>
'''Ex. '''
<math>\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & * & * \\ 0 & a_2 b_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 b_3 \end{pmatrix}</math>
=固有値=
'''Th. '''
三角行列の固有値は，その対角成分である。
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}</math> の固有値は 1, 4, 6
=Schur分解=
任意の正方行列は、ユニタリ相似変換によって上三角行列にすることができる。
特に，対角成分は固有値である。
<math>{}^\forall A ^in \mathrm{Mat}(n,n) {}^\exists U \in \mathrm{Uni}(n), {}^\exists S \in \mathrm{Upp}(n)</math>
<math> \mbox{ s.t. } A = U S U^*</math>
i.e.
任意の正方行列は
(i) 三角化可能で、しかも
(ii) ユニタリ相似である。
=代数構造=
下(上)三角行列は通常の和と積で非可換環(多元環, 代数)をなす。
<math>U, V \in \mathrm{Upper}(n) </math>
(i) <math>U+V \in \mathrm{Upper}(n)</math>
(ii) <math> UV \in \mathrm{Upper}(n)</math>
'''Rem. '''
積は非可換だが，対角成分のみに着目すれば可換であり，
しかもそれは対角同士の積である。
<math>\mathrm{diag}( AB ) = \mathrm{diag}( BA ) = \mathrm{diag}(A) * \mathrm{diag}(B)</math>
'''Ex. '''
<math>\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 & * & * \\ 0 & b_2 & * \\ 0 & 0 & b_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & * & * \\ 0 & a_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & * & * \\ 0 & a_2 b_2 & * \\ 0 & 0 & a_3 b_3 \end{pmatrix}</math>
=固有値=
'''Th. '''
三角行列の固有値は，その対角成分である。
<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}</math> の固有値は 1, 4, 6
=Schur分解=
任意の正方行列は、ユニタリ相似変換によって上三角行列にすることができる。
特に，対角成分は固有値である。
<math>{}^\forall A ^in \mathrm{Mat}(n,n) {}^\exists U \in \mathrm{Uni}(n), {}^\exists S \in \mathrm{Upp}(n)</math>
<math> \mbox{ s.t. } A = U S U^*</math>
i.e.
任意の正方行列は
(i) 三角化可能で、しかも
(ii) 元の行列とユニタリ相似である。
そして、三角行列の固有値はその対角成分であるから、
(iii) 元の行列の固有値は三角化さえすれば求められる。
