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開集合である。 - (2011/05/07 (土) 18:17:20) の１つ前との変更点
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=基本（距離空間の場合）=
X 台集合
<math>A \subset X</math>
A が開集合であるとは、Aの任意の点がAの内点であること。
<math>^\forall x \in A \ ^\exists r>0 \quad \mbox{s.t.} \ B(x;r) \subset A</math>
ただし、B(x;r)は中心x半径rの開球
=位相空間の場合=
開球が定義できないので、開近傍に置き換えればおｋ
<math>^\forall x \in A \ ^\exists V_x \in \mathcal{O}_X \quad \mbox{s.t.} \ x \in V_x, \ V_x \subset A</math>
すなわち、Aの任意の点に対して、Aに含まれる開近傍をとることができればおｋ
'''Th.'''
Aが開集合であるための必要十分条件は、
<math>A = \mathrm{int}(A)</math>
----
=Rの開集合=
'''Th.''' Rの開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和で表される。
証明には Zornの補題を使う。
'''Rem. ''' R^2 以上では、この事実は必ずしも成り立たない。
以下が成り立つ。
'''Th. ''' R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の右半開区間の和で表される。
'''Th. ''' R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の閉区間の和で表される。
=距離空間=
X 台集合
<math>A \subset X</math>
A が開集合であるとは、Aの任意の点がAの内点であること。
<math>^\forall x \in A \ ^\exists r>0 \quad \mbox{s.t.} \ B(x;r) \subset A</math>
ただし、B(x;r)は中心x半径rの開球
=位相空間の場合=
開球が定義できないので、開近傍に置き換えればおｋ
<math>^\forall x \in A \ ^\exists V_x \in \mathcal{O}_X \quad \mbox{s.t.} \ x \in V_x, \ V_x \subset A</math>
すなわち、Aの任意の点に対して、Aに含まれる開近傍をとることができればおｋ
'''Th.'''
Aが開集合であるための必要十分条件は、
<math>A = \mathrm{int}(A)</math>
----
=Rの開集合=
'''Th.''' Rの開集合は、互いに交わらない可算個の開区間の和で表される。
証明には Zornの補題を使う。
'''Rem. ''' R^2 以上では、この事実は必ずしも成り立たない。
以下が成り立つ。
'''Th. ''' R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の右半開区間の和で表される。
'''Th. ''' R^d の開集合は、互いに交わらない可算個の閉区間の和で表される。
