射影

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 1. 直積に対する射影（標準的射影）
 2. 商集合に対する射影（自然な射影）
 3. 線形空間における射影（冪等作用素）
 4. ファイバー空間（直積の拡張）における射影
 
 などが考えられる。
 冪等については，片側逆写像との関係が深い。

=直積に対する射影=
 いずれも canonical projection または natural projection という。
 圏論的な文脈では，忘却写像ともいう。

==順序対，デカルト積と射影==
 ２つの集合の直積を特にデカルト積 Cartesian product という。

 X, Y : set
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_X :$ & $X \times Y$ & $\to$ & $X$ \\
 & $\ni$ & & $\ni$ \\
 & $(x,y)$ & $\mapsto$ & $x$
 \end{tabular}
 </math>
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_Y :$ & $X \times Y$ & $\to$ & $Y$ \\
 & $\ni$ & & $\ni$ \\
 & $(x,y)$ & $\mapsto$ & $y$
 \end{tabular}
 </math>

 p_X, p_Y を直積集合X×YからX,Yへの射影という。

==選択関数，直積と射影==
 添字集合 <math>N = \{ 1, 2, \cdots, n \}</math>
 N で添字付けられた集合系 <math>X=(X_i|i \in N)</math>
 （i.e. <math> X : N \ni i \mapsto X_i \in \{ X_1, \cdots, X_n \}</math> 写像Xを集合系という。）
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $f :$ & $N$ & $\to$ & $\bigcup_{i=1}^n X_i$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $i$ & $\mapsto$ & $f(i) \in X_i$
 </math>
 を，選択関数という。
 選択関数の全体を直積といい，
 <math>\prod_{i \in N} X_i</math>
 と書く。

 順序対 <math>(x_1, x_2, \cdots, x_n) \quad (x_i \in X_i)</math> は，選択関数と考えることができる。
 即ち，<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n) \Leftrightarrow f(i)=x_i</math> というように写像を定める書き方だと思えばよい。
 つまり，直積とは，写像の族である。

 逆に添字iを固定して，選択関数を対応させる関数を，i-射影という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_i :$ & $\prod_{j \in N} X_j$ & $\to$ & $X_i$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $f=(x_1, \cdots, x_n)$ & $\mapsto$ & $f(i)$
 </math>

 '''Th. ''' i-射影は全射
 証明には選択公理を使う。

----
=商集合に対する自然な射影=
==同値類，商集合と射影==
 ''[[切断と引き込み]]も参照''

 X : set
 <math>\sim</math> : Xの同値関係 equivalence relation ~ on X
 <math>a \in X, \ [a] \ := \ \{ x \in X | x \sim a \} \subset X</math> x の同値類 equivalence class
 同値類の元を代表という。
 商集合X/~の各類Aから一つずつ元aをとって集めた集合{a, b, ...}を代表系という。
 代表系と商集合は集合として同型である。（つまり全単射が存在する。）
 <math>X / \sim \ := \ \{ [a] | a \in X \}</math> Xの~による商集合 = 同値類の全体を集めた族

 各元xに対して，xの同値類を対応させる全射を，自然な射影という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p :$ & $X$ & $\to$ & $X / \sim$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $x$ & $\mapsto$ & $[x]$
 </math>

 また，各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $s :$ & $X / \sim$ & $\to$ & $X$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $[x]$ & $\mapsto$ & $x \in [x]$
 </math>

----
=種々の構造と射影=
==線形空間の射影==
 V : 有限次元ユークリッド空間
 <math>P : V \to V</math> transform が射影であるとは，
 <math>P^2 = P</math> 冪等(idempotent)であることをいう。

 このとき <math>\mathrm{id}_V - P</math> もまた射影であって，その像空間Im(I-P)は像空間Im(P)の補空間である。
 <math>\mathrm{Im}(I-P) = \left( \mathrm{Im} P \right)^c</math>
 従って，射影Pは元の空間Vを直和分解する。
 <math>V = \mathrm{Im}P \oplus \mathrm{Im}(I-P)</math>
 また逆に，任意の直和分解 <math>V = U \oplus W</math> に対して射影Pが存在する。

 さらに，<math>\langle Px, y \rangle = \langle x, Py \rangle </math> Hermitian のとき直交射影であるという。
 この条件は，行列としては Hermitian <math>P^*=P</math>であることを示す。
 直交射影によって得られる補空間は直交補空間である。

 '''Rem.'''
 正方行列に対しては，全射ならば全単射であり，従って必ず逆写像が存在するから，切断を考える意味は失われる。
 一方，一般の長方行列に対しては，全射であっても必ずしも単射でないから，切断を考えることができる。

 '''Lem.'''
 一般の長方行列 <math>A \in \mathbb{R}^{m \times n}</math> と <math>B \in \mathbb{R}^{n \times m}</math> に対して，
 <math>AB = I_m</math> ならば <math>BA = P_n</math> は Im B への射影行列である。

==射影行列の構造と随伴基底==
 ''[[直交行列とユニタリ行列]]も参照''
 V : n-dim linear space
 <math>S = [ s_1, \cdots, s_n ]</math> : basis of V
   i.e. <math>\mathrm{Span} S = V</math>
 W : m-dim subspace of V
 <math>B = [ b_1, \cdots, b_m ]</math> : basis of W
   i.e. <math>\mathrm{Span} B = W</math>
 <math>[ B \ B^c] = SA</math>

 V上の線形写像で，その像がWになるものを考える。
 <math>p : V \to W \subset V ; v \mapsto p(v) \in W</math>

 射影の定義<math>p^2=p</math>と合わせて，以下を満たさなければならない。
 <math>v \in W \ \Rightarrow \ p(v)=v</math>
 <math>v \in W^c \ \Rightarrow \ p(v)=0 </math> ←<math>v \notin W</math> よりも強い条件！

==奥行きを考えた射影変換==

 1. 直積に対する射影（標準的射影）
 2. 商集合に対する射影（自然な射影）
 3. 線形空間における射影（冪等作用素）
 4. ファイバー空間（直積の拡張）における射影
 
 などが考えられる。
 冪等については，片側逆写像との関係が深い。

=直積に対する射影=
 いずれも canonical projection または natural projection という。
 圏論的な文脈では，忘却写像ともいう。

==順序対，デカルト積と射影==
 ２つの集合の直積を特にデカルト積 Cartesian product という。

 X, Y : set
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_X :$ & $X \times Y$ & $\to$ & $X$ \\
 & $\ni$ & & $\ni$ \\
 & $(x,y)$ & $\mapsto$ & $x$
 \end{tabular}
 </math>
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_Y :$ & $X \times Y$ & $\to$ & $Y$ \\
 & $\ni$ & & $\ni$ \\
 & $(x,y)$ & $\mapsto$ & $y$
 \end{tabular}
 </math>

 p_X, p_Y を直積集合X×YからX,Yへの射影という。

==選択関数，直積と射影==
 添字集合 <math>N = \{ 1, 2, \cdots, n \}</math>
 N で添字付けられた集合系 <math>X=(X_i|i \in N)</math>
 （i.e. <math> X : N \ni i \mapsto X_i \in \{ X_1, \cdots, X_n \}</math> 写像Xを集合系という。）
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $f :$ & $N$ & $\to$ & $\bigcup_{i=1}^n X_i$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $i$ & $\mapsto$ & $f(i) \in X_i$
 </math>
 を，選択関数という。
 選択関数の全体を直積といい，
 <math>\prod_{i \in N} X_i</math>
 と書く。

 順序対 <math>(x_1, x_2, \cdots, x_n) \quad (x_i \in X_i)</math> は，選択関数と考えることができる。
 即ち，<math>(x_1, x_2, \cdots, x_n) \Leftrightarrow f(i)=x_i</math> というように写像を定める書き方だと思えばよい。
 つまり，直積とは，写像の族である。

 逆に添字iを固定して，選択関数を対応させる関数を，i-射影という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p_i :$ & $\prod_{j \in N} X_j$ & $\to$ & $X_i$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $f=(x_1, \cdots, x_n)$ & $\mapsto$ & $f(i)$
 </math>

 '''Th. ''' i-射影は全射
 証明には選択公理を使う。

----
=商集合に対する自然な射影=
==同値類，商集合と射影==
 ''[[切断と引き込み]]も参照''

 X : set
 <math>\sim</math> : Xの同値関係 equivalence relation ~ on X
 <math>a \in X, \ [a] \ := \ \{ x \in X | x \sim a \} \subset X</math> x の同値類 equivalence class
 同値類の元を代表という。
 商集合X/~の各類Aから一つずつ元aをとって集めた集合{a, b, ...}を代表系という。
 代表系と商集合は集合として同型である。（つまり全単射が存在する。）
 <math>X / \sim \ := \ \{ [a] | a \in X \}</math> Xの~による商集合 = 同値類の全体を集めた族

 各元xに対して，xの同値類を対応させる全射を，自然な射影という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $p :$ & $X$ & $\to$ & $X / \sim$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $x$ & $\mapsto$ & $[x]$
 </math>

 また，各類Aから一つの代表aを選んでくる写像sを，射影pの切断という。
 <math>\begin{tabular}{cccc}
 $s :$ & $X / \sim$ & $\to$ & $X$ \\
       & $\ni$ &     & $\ni$   \\
       & $[x]$ & $\mapsto$ & $x \in [x]$
 </math>

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=種々の構造と射影=
==線形空間の射影==
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