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'''「収束する」とき'''
<math>a_n \to a \; (n \to \infty)</math>
<math>\Rightarrow {}^\forall j {}^\exists N \mbox{ s.t. } N \leq n \Rightarrow |a_n-a|<\frac{1}{j}</math>
<math>\Rightarrow {}^\exists \{ a_{n_j} \}_{j=1}^\infty \mbox{ s.t. } {}^\forall j \, |a_{n_j}-a|<\frac{1}{j}</math>
'''「発散する」とき'''
<math>a_n \to \infty \; n \to \infty</math>
<math>\Rightarrow {}^\forall j {}^\exists N \mbox{ s.t. } N \leq n \Rightarrow |a_n-a|>j</math>
<math>\Rightarrow {}^\exists \{ a_{n_j} \}_{j=1}^\infty \mbox{ s.t. } {}^\forall j \, |a_{n_j}-a|>j</math>
'''一様収束を示す'''
0. なにはともあれ，収束先を探す。
0'. supノルムが０にならなきゃだめ
1. そもそも各点収束していることを確かめる。（x固定するので，ただの数列になる。）
<math>{}^\forall x \mbox{ fixed } \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) </math>
1'. 関数列が連続で，収束先が不連続なら一様収束しない。
2. 次を満たすNが，xに依らずにとれれば一様収束。
<math>N \leq n \Rightarrow |f_n(x)-f(x)| < \epsilon</math>
xに依らないことが示されてさえいれば，'''xを固定して数列にしてしまう'''テクニックは一様収束でも有効！
2'. 要するに，（有界関数に限れば）supノルムによる収束を示すことに他ならない。
<math>\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)| = 0</math>
3. Cauchy Criterion (Cauchy列の一様収束版)
A sequence of functions (f<sub>n</sub>) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |f<sub>n</sub>-f<sub>m</sub>|<ε
for all m,n>N and all x∈A
'''とにかく収束することだけを示す'''
※特に，収束先が分からないとき。
コーシー列の収束を示す。
'''Cauchy列が収束することを示す'''
全ての部分列が収束することと同値
'''積分の収束'''
要するに数列 → 差の絶対値が収束すればおｋ
<math>| \int_\Omega f_n dx - \int_\Omega f dx| \to 0</math>
'''ただ１つ'''
２つあると仮定して，引き算の絶対値 |x-x'| が０になることを示す。
'''Cauchy列が収束列の証明'''
<math>\| f_n(x)-f_m(x) \| < \epsilon</math> が仮定される(Cauchy列)。
1. x=x<sub>0</sub> を固定して数列（のCauchy列）にしてしまう（ノルムの定義から絶対値を作り出すところがミソ）。
2. 実数の完備性により，数列{f(x<sub>0</sub>)} は極限を持つので，f(x<sub>0</sub>) が取れる。
3. 結局，<math>| f_n(x)-f(x) | < \epsilon</math> の形が作れる。
4. 元のノルムが収束する形に辻褄を合わせて終わり。
'''Cauchy列が収束列の証明（部分列を使う方法）'''
<math>{}^\foall k \ {}^\exists n_k \quad n_k \leq m,n \Rightarrow |f_n-f_m| < 2^{-k}</math> として，部分列 <math>f_{n_k}</math> を作る。
1. 適当な部分列の極限fがあって，<math>\| f_{n_k} - f\| \to 0</math> を示す。
2. <math>\| f_n - f \| \leq \| f_n - f_{n_k} \| + \| f_{n_k}-f \|</math> より，Cauchy列と収束部分列の仮定から左辺→0が示される。
'''部分列の使い方'''
任意の部分列が同じ極限に収束する。⇒ 収束する。
ある部分列が発散する。⇒ 発散する。
'''「収束する」とき'''
<math>a_n \to a \; (n \to \infty)</math>
<math>\Rightarrow {}^\forall j {}^\exists N \mbox{ s.t. } N \leq n \Rightarrow |a_n-a|<\frac{1}{j}</math>
<math>\Rightarrow {}^\exists \{ a_{n_j} \}_{j=1}^\infty \mbox{ s.t. } {}^\forall j \, |a_{n_j}-a|<\frac{1}{j}</math>
'''「発散する」とき'''
<math>a_n \to \infty \; n \to \infty</math>
<math>\Rightarrow {}^\forall j {}^\exists N \mbox{ s.t. } N \leq n \Rightarrow |a_n-a|>j</math>
<math>\Rightarrow {}^\exists \{ a_{n_j} \}_{j=1}^\infty \mbox{ s.t. } {}^\forall j \, |a_{n_j}-a|>j</math>
'''一様収束を示す'''
0. なにはともあれ，収束先を探す。
0'. supノルムが０にならなきゃだめ
1. そもそも各点収束していることを確かめる。（x固定するので，ただの数列になる。）
<math>{}^\forall x \mbox{ fixed } \lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x) </math>
1'. 関数列が連続で，収束先が不連続なら一様収束しない。
2. 次を満たすNが，xに依らずにとれれば一様収束。
<math>N \leq n \Rightarrow |f_n(x)-f(x)| < \epsilon</math>
xに依らないことが示されてさえいれば，'''xを固定して数列にしてしまう'''テクニックは一様収束でも有効！
2'. 要するに，（有界関数に限れば）supノルムによる収束を示すことに他ならない。
<math>\lim_{n \to \infty} \sup_{x \in D} |f_n(x)-f(x)| = 0</math>
3. Cauchy Criterion (Cauchy列の一様収束版)
A sequence of functions (f<sub>n</sub>) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |f<sub>n</sub>-f<sub>m</sub>|<ε
for all m,n>N and all x∈A
'''とにかく収束することだけを示す'''
※特に，収束先が分からないとき。
コーシー列の収束を示す。
'''Cauchy列が収束することを示す'''
全ての部分列が収束することと同値
'''積分の収束'''
要するに数列 → 差の絶対値が収束すればおｋ
<math>| \int_\Omega f_n dx - \int_\Omega f dx| \to 0</math>
'''ただ１つ'''
２つあると仮定して，引き算の絶対値 |x-x'| が０になることを示す。
'''Cauchy列が収束列の証明'''
<math>\| f_n(x)-f_m(x) \| < \epsilon</math> が仮定される(Cauchy列)。
1. x=x<sub>0</sub> を固定して数列（のCauchy列）にしてしまう（ノルムの定義から絶対値を作り出すところがミソ）。
2. 実数の完備性により，数列{f(x<sub>0</sub>)} は極限を持つので，f(x<sub>0</sub>) が取れる。
3. 結局，<math>| f_n(x)-f(x) | < \epsilon</math> の形が作れる。
4. 元のノルムが収束する形に辻褄を合わせて終わり。
'''Cauchy列が収束列の証明（部分列を使う方法）'''
<math>{}^\forall k \ {}^\exists n_k \quad n_k \leq m,n \Rightarrow |f_n-f_m| < 2^{-k}</math> とできる。この番号を用いて部分列 <math>f_{n_k}</math> を作る。
1. 適当な部分列の極限fがあって，<math>\| f_{n_k} - f\| \to 0</math> を示す。
2. <math>\| f_n - f \| \leq \| f_n - f_{n_k} \| + \| f_{n_k}-f \|</math> より，Cauchy列と収束部分列の仮定から左辺→0が示される。
'''部分列の使い方'''
任意の部分列が同じ極限に収束する。⇒ 収束する。
ある部分列が発散する。⇒ 発散する。
