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== 一様収束を示す ==
'''Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence'''
コーシー列の関数列版
A sequence of functions (f<sub>n</sub>) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |f<sub>n</sub>-f<sub>m</sub>|<ε
for all m,n>N and all x∈A.
'''Th. Arzela-Ascoli'''
''Arzela-Ascoliについては[[関数解析]]も参照''
Let I be a bounded closed interval.
For each n∈N, let f<sub>n</sub> be a function defined on I.
If (f<sub>n</sub>) is bounded on I and if the collection of functions (f<sub>n</sub>) is equicontinuous,
(f<sub>n</sub>) contains a uniformly convergent subsequence.
== 一様収束の効用 ==
'''Th. 連続関数列の極限が連続になるための条件'''
一様収束ならおｋ
Let (f<sub>n</sub>) be a sequence of functions defined on A⊂R
that converges uniformly on A to a function f.
If each f<sub>n</sub> is continuous at c∈A, then f is continuous at c.
'''Th. 関数列の微分と微分列の極限が一致するための条件'''
導関数の列が一様収束ならおｋ
Let f<sub>n</sub>→f pointwise on the closed interval [a,b]
and assume that each f<sub>n</sub> is differentiable.
If (f'<sub>n</sub>) converges uniformly on [a,b] to a function g,
then the function f is differentiable and f'=g.
'''Cor. 導関数列が一様収束するときの効用'''
うえの定理で，f<sub>n</sub>が各点収束するという条件は，ただ１点での収束に弱めることができる。
Let (f<sub>n</sub>) be a sequence of differentiable functions defined on the closed interval [a,b],
and assume (f'<sub>n</sub>) converges uniformly to a function g on [a,b].
If there exists a point x<sub>0</sub>∈[a,b] for which f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>) is convergent,
then (f<sub>n</sub>) converges uniformly.
Moreover, the limit function f:=limf<sub>n</sub> is differentiable and satisfies f'=g.
== 級数 ==
級数は部分和列の極限
'''Th. 連続関数列の級数は，一様収束すれば連続'''
級数は部分和列の極限として定義されるので，以下の論理が従う。
Step1. 各項が連続 ⇒ 部分和も連続
Step2. 連続な列が一様収束 ⇒ 極限（級数）も連続
'''Th. 級数の微分可能性'''
これについても同様。
1. '''導関数列の'''級数が（有界閉区間[a,b]上）g(x)に一様収束して，
2. 元の級数がある一点x<sub>0</sub>で収束すれば，
級数は微分可能な関数f(x)に一様収束して，しかも f'=g が成り立つ。
'''Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Series'''
A series Σf<sub>n</sub> converges uniformly on A⊂R if and only if for every ε>0
there exists an N∈N such that for all n>m>N,
<math>|f_{m+1}(x)+f_{m+2}(x)+\cdots+f_n(x)|<\epsilon</math>
for all x∈A.
'''Cor. Weierstrass M-Test'''
いわゆる，ワイエルストラスの優級数判定法
For each n∈N, let f<sub>n</sub> be a function defined on a set A⊂R,
and let M<sub>n</sub>>0 be a real number satisfying |f<sub>n</sub>|<M<sub>n</sub>
for all x∈A. If ΣM<sub>n</sub> converges, then Σf<sub>n</sub> converges uniformly on A.
== Power Series ==
冪級数は，級数の特殊な場合。
以下の２つの定理によって，冪級数は収束半径という特徴的な量をもつことが分かる。
'''Th. '''
ある点で収束すれば，その内側では各点で絶対収束
If a power series Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges at some point x<sub>0</sub>∈R,
then it converges absolutely for any x satisfying |x|<|x<sub>0</sub>|
'''Th. '''
ある点で絶対収束すれば，その内側では一様収束
If a power series Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges absolutely at a point x<sub>0</sub>,
then it converges unigormly on the closed interval [-c,c], where c=|x<sub>0</sub>|.
'''Th. Abel's Theorem'''
端点での値について。
Let g(x):=Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> be a power series that converges at the point x=R>0.
Then the series converges uniformly on the interval [o,R].
A similar result holds if the series converges at x=-R.
'''Cor. '''
上２つの要するところ。
If a power series converges pointwise on the set A⊂R,
then it converges uniformly on any compact set K⊂A.
'''Th. 微分可能性'''
If Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges for all x∈(-R,R),
then the differentiated series Σna<sub>n</sub>x<sup>n-1</sup> converges at each x∈(-R,R) as well.
Consequently, the convergence is uniform on compact sets contained in (-R,R).
'''Th. まとめ'''
級数は収束半径の内側でC<sup>∞</sup>級
Assume g(x)=Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges on an interval A⊂R.
The function g is continuous on A and differentiable on any open interval (-R,R)⊂A.
The derivative is given by g'(x)=Σna<sub>n</sub>x<sup>n-1</sup>.
More over, g is infinitely differentiable on (-R,R), and the successive derivatives
can be obtained via term-by-term differentiation of the appropriate series.
== Taylor展開 ==
1. Taylor展開は'''１点の近傍の情報だけで関数全体の形が決まる'''という点で驚異的。
1'. この発見(Taylor, 1715)により，全ての∞階微分可能な関数は級数展開できると信じられた時代があった。
1". Cauchyの発見により，∞回微分可能だがTaylor展開可能でない関数があることが分かった。
<math>g(x) := \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & 0 \leq x \\ 0 & x=0 \end{cases}</math>
1"'. 複素関数では，解析関数(Taylor展開可能)と正則関数(∞階微分可能)とは一致する。
2. 級数が∞階微分可能なことは上で保障されているが，展開される関数自体が∞階微分可能かどうかは別問題。
3. Taylor展開の収束判定の基本は，Lagrange剰余項の評価による。
<math>E_N(x) := f(x)-S_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1} \mbox{ for } {}^\exists c \in (-R,R)</math>
== 一様収束を示す ==
'''Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence'''
コーシー列の関数列版
A sequence of functions (f<sub>n</sub>) defined on a set A⊂R converges uniformly on A
if and only if for every ε>0 there exists an N∈N such that |f<sub>n</sub>-f<sub>m</sub>|<ε
for all m,n>N and all x∈A.
'''Th. Arzela-Ascoli'''
''Arzela-Ascoliについては[[関数解析の諸定理]]も参照''
Let I be a bounded closed interval.
For each n∈N, let f<sub>n</sub> be a function defined on I.
If (f<sub>n</sub>) is bounded on I and if the collection of functions (f<sub>n</sub>) is equicontinuous,
(f<sub>n</sub>) contains a uniformly convergent subsequence.
== 一様収束の効用 ==
'''Th. 連続関数列の極限が連続になるための条件'''
一様収束ならおｋ
Let (f<sub>n</sub>) be a sequence of functions defined on A⊂R
that converges uniformly on A to a function f.
If each f<sub>n</sub> is continuous at c∈A, then f is continuous at c.
'''Th. 関数列の微分と微分列の極限が一致するための条件'''
導関数の列が一様収束ならおｋ
Let f<sub>n</sub>→f pointwise on the closed interval [a,b]
and assume that each f<sub>n</sub> is differentiable.
If (f'<sub>n</sub>) converges uniformly on [a,b] to a function g,
then the function f is differentiable and f'=g.
'''Cor. 導関数列が一様収束するときの効用'''
うえの定理で，f<sub>n</sub>が各点収束するという条件は，ただ１点での収束に弱めることができる。
Let (f<sub>n</sub>) be a sequence of differentiable functions defined on the closed interval [a,b],
and assume (f'<sub>n</sub>) converges uniformly to a function g on [a,b].
If there exists a point x<sub>0</sub>∈[a,b] for which f<sub>n</sub>(x<sub>0</sub>) is convergent,
then (f<sub>n</sub>) converges uniformly.
Moreover, the limit function f:=limf<sub>n</sub> is differentiable and satisfies f'=g.
== 級数 ==
級数は部分和列の極限
'''Th. 連続関数列の級数は，一様収束すれば連続'''
級数は部分和列の極限として定義されるので，以下の論理が従う。
Step1. 各項が連続 ⇒ 部分和も連続
Step2. 連続な列が一様収束 ⇒ 極限（級数）も連続
'''Th. 級数の微分可能性'''
これについても同様。
1. '''導関数列の'''級数が（有界閉区間[a,b]上）g(x)に一様収束して，
2. 元の級数がある一点x<sub>0</sub>で収束すれば，
級数は微分可能な関数f(x)に一様収束して，しかも f'=g が成り立つ。
'''Th. Cauchy Criterion for Uniform Convergence of Series'''
A series Σf<sub>n</sub> converges uniformly on A⊂R if and only if for every ε>0
there exists an N∈N such that for all n>m>N,
<math>|f_{m+1}(x)+f_{m+2}(x)+\cdots+f_n(x)|<\epsilon</math>
for all x∈A.
'''Cor. Weierstrass M-Test'''
いわゆる，ワイエルストラスの優級数判定法
For each n∈N, let f<sub>n</sub> be a function defined on a set A⊂R,
and let M<sub>n</sub>>0 be a real number satisfying |f<sub>n</sub>|<M<sub>n</sub>
for all x∈A. If ΣM<sub>n</sub> converges, then Σf<sub>n</sub> converges uniformly on A.
== Power Series ==
冪級数は，級数の特殊な場合。
以下の２つの定理によって，冪級数は収束半径という特徴的な量をもつことが分かる。
'''Th. '''
ある点で収束すれば，その内側では各点で絶対収束
If a power series Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges at some point x<sub>0</sub>∈R,
then it converges absolutely for any x satisfying |x|<|x<sub>0</sub>|
'''Th. '''
ある点で絶対収束すれば，その内側では一様収束
If a power series Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges absolutely at a point x<sub>0</sub>,
then it converges unigormly on the closed interval [-c,c], where c=|x<sub>0</sub>|.
'''Th. Abel's Theorem'''
端点での値について。
Let g(x):=Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> be a power series that converges at the point x=R>0.
Then the series converges uniformly on the interval [o,R].
A similar result holds if the series converges at x=-R.
'''Cor. '''
上２つの要するところ。
If a power series converges pointwise on the set A⊂R,
then it converges uniformly on any compact set K⊂A.
'''Th. 微分可能性'''
If Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges for all x∈(-R,R),
then the differentiated series Σna<sub>n</sub>x<sup>n-1</sup> converges at each x∈(-R,R) as well.
Consequently, the convergence is uniform on compact sets contained in (-R,R).
'''Th. まとめ'''
級数は収束半径の内側でC<sup>∞</sup>級
Assume g(x)=Σa<sub>n</sub>x<sup>n</sup> converges on an interval A⊂R.
The function g is continuous on A and differentiable on any open interval (-R,R)⊂A.
The derivative is given by g'(x)=Σna<sub>n</sub>x<sup>n-1</sup>.
More over, g is infinitely differentiable on (-R,R), and the successive derivatives
can be obtained via term-by-term differentiation of the appropriate series.
== Taylor展開 ==
''Taylor展開については[[Taylor展開]]も参照''
1. Taylor展開は'''１点の近傍の情報だけで関数全体の形が決まる'''という点で驚異的。
1'. この発見(Taylor, 1715)により，全ての∞階微分可能な関数は級数展開できると信じられた時代があった。
1". Cauchyの発見により，∞回微分可能だがTaylor展開可能でない関数があることが分かった。
<math>g(x) := \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}} & 0 \leq x \\ 0 & x=0 \end{cases}</math>
1"'. 複素関数では，解析関数(Taylor展開可能)と正則関数(∞階微分可能)とは一致する。
2. 級数が∞階微分可能なことは上で保障されているが，展開される関数自体が∞階微分可能かどうかは別問題。
3. Taylor展開の収束判定の基本は，Lagrange剰余項の評価による。
<math>E_N(x) := f(x)-S_N(x) = \frac{f^{(N+1)}(c)}{(N+1)!}x^{N+1} \mbox{ for } {}^\exists c \in (-R,R)</math>
