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ルベーグ積分の小技 - (2009/08/29 (土) 10:51:54) のソース
'''可積分関数は単関数で近似する'''
単関数で証明しておいて，一般の場合は単調収束定理に持ち込む。
'''測度と積分の橋渡し'''
1. <math>\int_A dx = \mu(A)</math>
2. (応用)チェビシェフ不等式
'''可測関数fがLpの元であることを示す'''
f:可測関数，g:Lp関数
<math>|f| \leq |g|</math> を示せばよい。
実際，このとき
<math>\|f\|_{L^p} \leq \|g\|_{L^p} < \infty</math>
となって，fもLpで可積分となることが分かる。
'''Lpから別のLrを作り出す'''
<math>f \in L^p(\Omega)</math> に対して，<math>f^{\frac{p}{r}} \in L^r(\Omega)</math>
なんとなれば，以下の変形から従う。
<math>\| f^\frac{p}{r} \|_r^r = \int_\Omega |f^\frac{p}{r}|^r dx = \int_\Omega |f|^p dx = \| f \|_p^p < \infty</math>
'''積分を見たら'''
かけて同じならガンガン移りあえる。
<math>p=qr; \quad p,q,r \in [1,\infty] </math>
<math>f \in L^p(\Omega)</math>とする。
<math>\| f \|_p^p = \int_\Omega |f|^p dx = \int_\Omega |f|^{qr} dx = \Big \| |f|^q \Big \|^r_r </math>
とくに，
<math>\| |f|^q \|_r = \| f \|_{rq}^q = \| f \|_p^q</math>
さらに，<math>p-s,s \in [1,\infty]</math>ならば，Hölderの不等式によって，
<math>= \int_\Omega |f|^{p-s}|f|^s dx \leq \| f \|_\frac{p}{p-s} \| f \|_\frac{p}{s} </math>
'''共役指数の使い方'''
逆数で考えるとよい。
特に，
<math>p,q,r \in [1,\infty] \Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{p},\frac{1}{q},\frac{1}{r} \leq 1</math> が <math>\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}</math> を満たしているとき，
<math>\frac{p}{r},\frac{q}{r} \in [1,\infty] \Leftrightarrow 0 \leq \frac{r}{p},\frac{r}{q} \leq 1</math> が成り立つ。
つまり，<math>\frac{p}{r},\frac{q}{r}</math>は互いに共役な指数になる。
<math>\frac{1}{\frac{p}{r}}+\frac{1}{\frac{q}{r}}=1</math>
'''Lp関数に収束することを示す。'''
<math>f \in L^p \Leftrightarrow f^p ^in L</math>なので，
<math>f^p_k \to f^p</math>を示せばよい（L1関数への収束に帰着）。
'''概収束を示す。'''
f<sub>n</sub>→f を満たす点の集合は次のように書ける。
<math>L := \bigcap_{j=1}^\infty \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{k=n}^\infty \{ x \in X | |f_k(x)-f(x)| < \frac{1}{j} \}</math>
あるいは，収束先fを出さない場合は次のようになる。
<math>L_C := \bigcap_{j=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty \bigcap_{m=N}^\infty \{ x \in X | |f_n(x)-f_m(x)| < \frac{1}{j} \}</math>
'''集合列から互いに素な列を作る'''
<math>F_1 := E_1, \quad F_j := E_j \setminus \bigcup_{i=1}^j E_i \quad (j \geq 2)</math>
このとき，Fjは互いに素な集合列で，しかも次を満たす。
1. <math>E_j \supset F_j</math>
2. <math>\bigcup_{j=1}^\infty E_j = \bigcup_{j=1}^\infty F_j</math>
Ejが'''単調増加列'''なら，<math>F_j = E_j \setminus E_{j-1}</math> と置くだけで同じ意味になる。
'''減少列から増加列を作る。'''
<math>F_j := E_1 - E_j</math> とおけばよい。補数をとるようなもの。
