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同型と射影 - (2009/08/26 (水) 13:29:59) のソース
同型～同相
準同型～射影～一の分割 ←問題を局所化するのに使う。
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= 線形空間 =
== 線形空間の同型 ==
'''Def. '''
U,V : Vector Sp.
U,Vが同型とは，U,Vの間に全単射線形写像が存在することをいう。
φ:U→V : Linear 1-to-1 onto Map.
このとき，φを線形同型という。
'''Th. n次元ベクトル空間の正体'''
体K上のn次元ベクトル空間Vはn次元数ベクトル空間K<sup>n</sup>と同型
[証明]は，Vに必ず基底がとれることを利用して，
基底に対する成分の組(x,y,z,...)をKnの数ベクトルと同一視する写像が線形同型になることを示す。
'''Th. 正則⇔全射⇔単射⇔核が自明'''
線形変換 φ:K<sup>n</sup>→K<sup>n</sup> の性質
これらの性質のうちのいずれか１つ（従って全て）が成り立てば，φは線形同型である。
== 内積空間の同型 ==
線形同型（全単射線形写像）で，等長写像（あるいは内積を保つ）になるもの。
'''直交変換'''
'''ユニタリ変換'''
'''Hilbert空間の同型'''
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= 代数学 =
== 群の準同型 ==
== 環の準同型 ==
== 体の同型 ==
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= 位相空間 =
== 同相 ==
開集合を開集合に写す全単射写像
これによって位相構造が保たれる。
'''位相的性質'''
== 微分同相 ==
'''Ex. 円と楕円は微分同相'''
しかし，Riemann多様体としての構造は違う。
== 距離空間として同型 ==
同値なノルムを定めること？
== 商空間の自然な全射 ==
