勾配は接平面に直行する

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勾配は接平面に直行する - (2009/08/23 (日) 11:17:15) のソース

 <math>\phi:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}</math> スカラー場
 <math>E_C := \{ x \in \mathbb{R}^3 | \phi(x)=C \}</math> 等位面
 <math>\mathbf{r}(t):[a,b] \to E_C</math> 等位面内の曲線

 このとき，恒等的に <math>\phi(\mathbf{r}(t)) \equiv C</math> となるので，これをtで微分する。
 <math>\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{d y}{d t} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{d z}{d t} \equiv 0</math>
 ⇔ <math>\nabla \phi \cdot \dot{\mathbf{r}} \equiv 0</math>

 <math>\dot{\mathbf{r}(t)}</math>は各点<math>\mathbf{r}(t)</math>における接ベクトルとなっているから，
 逆に次のようなものを考えると，等位面の点Pにおける接平面となる。
 <math>T_P E_C := \{ \dot{\mathbf{r}}(t) | \mathbf{r}(0) = P \}</math>

 先の議論から任意の<math>v \in T_P E_C</math>に対し <math>(\nabla \phi)_P v = 0</math>
 従って各点Pにおける勾配の値はPにおける等位面の法ベクトルである。