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行列の直和 - (2009/08/23 (日) 21:43:43) のソース
'''正方行列の直和'''
<math>x \in \mathbb{R}^n, y \in \mathbb{R}^m</math>
<math>A,S \in {\rm Mat(n)}, B,T \in {\rm Mat}(m)</math>
<math>v := \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}</math>
<math>M := A \oplus B := \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix}</math>
'''以下の計算が成り立つ。'''
1. <math>Mv = \begin{pmatrix} Ax \\ By \end{pmatrix}</math>
2. <math>\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S & 0 \\ 0 & T \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} AS & 0 \\ 0 & BT \end{pmatrix}</math> あるいは <math>(A \oplus B)(S \oplus T) = (AS \oplus BT)</math>
つまり，作用させるベクトルは全く別々に扱って良いということ。
系として以下のようなことが分かる。これらはJordan標準形の議論で必要になる。
3. <math>(A \oplus B)^{-1} = A^{-1} \oplus B^{-1}</math>
4. <math> P^{-1}AP=\Lambda, \ Q^{-1}BQ=M \quad \Rightarrow \quad (P \oplus Q)^{-1} (A \oplus B) (P \oplus Q) = \Lambda \oplus M</math>
また，種々の汎関数に対しても以下が成り立つ。
5. <math>{\rm Tr} A \oplus B = {\rm Tr} A + {\rm Tr}B</math>
6. <math>{\rm det} A \oplus B = {\rm det} A \, {\rm det}B</math>
定数係数ODEの議論にあっては，Jordan標準形と併せて以下が重要
7. <math>(A \oplus B)^n = A^n \oplus B^n</math>
8. <math>e^{A \oplus B} = e^A \oplus e^B</math>
9. <math>e^{P A P^{-1}} = P e^A P^{-1}</math> ←直和とは関係ないけど
