「Radon-Nikodym と Lebesgue微分」の編集履歴（バックアップ）一覧に戻る
==Riemann積分の場合==
1. 不定積分の導関数は被積分関数に一致する。
2. 導関数が連続ならば，その積分はもとの関数に一致する。
==Lebesgueの微分定理==
まずLebesgue積分の場合
'''Vitaliの被覆定理'''
R<sup>d</sup>の集合族νが，R<sup>d</sup>の集合Eを'''Vitaliの意味で被覆する'''とは，次が成り立つことをいう。
<math>{}^\forall x \in E \ {}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists V \in \mathcal{V} \quad \mbox{ s.t. } \quad x \in V, \ \sup_{x,y \in V}|x-y|<\epsilon</math>
m*(E)<∞ のとき，閉球（開球・閉立方体・開立方体でもおｋ）からなるEのVitali被覆νをとると，
νから非交可算列{Vn}を取り出すことができて，次を満たす。
<math>m^* \left( E \setminus \bigcup_{n=1}^\infty V_n \right) = 0</math>
'''Hardy-Littlewoodの極大定理'''
<math>f \in L^p(\mathbb{R}^N)</math>
fに対して定義される次の関数を'''Hardy-Littlewoodの極大関数'''という。
<math>M_f(x) := \sup_{r>0}\frac{1}{\mu (B(x,r)) }\int_{B(x,r)}|f(y)|dy</math>
Mf(x)は可測関数であり，f,a,pに依らない定数Cがあって以下の不等式が成り立つ。
1. p=1 のとき
<math>{}^\forall a>0 \quad \mu \{ x | M_f(x)>a \} \leq \frac{C}{a} \| f \|_{L^1(\mathbb{R}^N)}</math>
2. 1<p<∞, 1/q+1/p=1
<math>\| M_f \|_{L^p(\mathbb{R}^N)} \leq 2 C q \\| f \|_{L^p(\mathbb{R}^N)}</math>
'''Lebesgueの微分定理'''
<math>f \in L^1(\mathbb{R}^N)</math>
<math>\lim_{r \to 0} \frac{1}{\mu (B(x,r))} \int_{B(x,r)} f(y) dy = f(x) a.e.</math>
where, <math>B(x,r) := \{ y \in X | d(x,y) < r \}</math>
'''Def. Lebesgue点'''
以下を満たすxをfのLebesgue点という。
<math>\lim_{r \to 0} \frac{1}{\mu (B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)-f(x)| dy = 0</math>
<math>f \in L^1(\mathbb{R}^d)</math>に対しては，ほとんど全ての点はL点である。
==Radon-Nikodym微分==
より一般の測度に拡張された微分
'''Th. Radon-Nikodymの定理'''
'''絶対連続な測度'''が、適当な関数の'''積分'''として書けるための条件（σ有限ならok）
'''定義（絶対連続）'''
<math>\nu << \mu \Leftrightarrow \mu(E)=0 \Rightarrow \nu(E)=0</math>
'''定理（Radon-Nikodym）'''
M上のσ有限測度が絶対連続 ν<<μ の関係にあるとき，ある非負値L1関数があって、
<math>\nu(E) = \int_E f \, d\mu</math>
この f を RN導関数という。
<math>\frac{d \nu}{d \mu} := f</math>
つまり，RN微分の正体は（非負値）可積分関数
'''Cf. 絶対連続関数'''
いわゆる不定積分 <math>F(x) := \int_a^x fdx</math> は絶対連続関数であり，
逆に任意の絶対連続関数は適当な可積分関数の不定積分である。 ←RN定理との類似
'''Rem. 積分の絶対連続性'''
<math>{}^\forall f \in L(X) \ {}^\forall \epsilon>0 \ {}^\exists \delta>0 \ {}^\forall A \in \mathcal{M} \quad \mbox{ s.t. } \quad \mu(A)<\delta \Rightarrow \int_A f d \mu < \epsilon</math>
